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PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR SEÇÕES CÔNICAS ME. Gilcimar Bermond Ruezzene.

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1 PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR SEÇÕES CÔNICAS ME. Gilcimar Bermond Ruezzene

2 SEÇÕES CÔNICAS

3 APLICAÇÕES ELIPSE SAÚDE; ACÚSTICA; ASTRONOMIA;

4 APLICAÇÕES PARÁBOLA ANTENAS PARABÓLICAS; FAROIS DE VEÍCULOS; FORNOS SOLARES; TELESCÓPIOS; PONTES SUSPENSAS;

5 APLICAÇÕES HIPÉRBOLE  TELESCÓPIO;  ARQUITETURA;  TORRES DE REFRIGERAÇÃO DE USINAS NUCLEARES;  NAVEGAÇÃO DE LONGA DISTÂNCIA;

6 PARÁBOLA Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais.

7 PARÁBOLA Obteremos uma equação particularmente simples para uma parábola se colocarmos o vértice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x.

8 PARÁBOLA 1º CASO 2º CASO

9 PARÁBOLA 3º CASO 4º CASO

10 Nos exemplos 1 e 2 encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico. 1) x² = 8y 2) x = 2y² EXEMPLOS

11 ELIPSE Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 é uma constante. Esses dois pontos são chamados focos.

12 ELIPSE Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses, com o Sol em um dos focos.

13 EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE X Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é dito eixo maior.

14 ELIPSE Para encontrar as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y 2 = b 2. ou seja, y = ± b. Observe que, se os focos coincidirem, então c = 0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b.

15 EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE Y Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em (0, ± c), então podemos encontrar sua equação trocando x e y.

16 ELIPSE

17 EXEMPLOS

18 HIPÉRBOLE Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: vértices: os pontos A1 e A2 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c

19 Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: eixo real: eixo imaginário: ELEMENTOS

20 HIPÉRBOLE Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse. A única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato, a dedução da equação de uma hipérbole é também similar àquela dada anteriormente para uma elipse.

21 EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO X

22 HIPÉRBOLE Observe que: As interseções com o eixo x são novamente ± a. Os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices da hipérbole.

23 RAMOS Portanto, temos x ≥ a ou x ≤ –a Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.

24 ASSÍNTOTAS Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas assíntotas, que são as retas y = (b/a)x e y = –(b/a)x.

25 HIPÉRBOLE Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação.

26 EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y

27 HIPÉRBOLE Veja a ilustração

28 EXEMPLOS 1) Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x 2 – 16y 2 = 144 e esboce seu gráfico. 2) Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ±1) e assíntota y = 2x.

29 EXEMPLO


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