Controle Linear II.

Name: Controle Linear II.
Uploaded: 2017-12-01T21:04:17+00:00
Duration: PTM9S17
Channel: Isabella Santiago
Description: Controle Linear II.

Controle Linear II

Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Seja o sistema de controle digital em malha fechada apresentado na figura abaixo. Determine a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau.

Como visto anteriormente, a função de transferência em malha fechada do sistema é: Sendo G(z) determinado por:

Então, a função de transferência do sistema será:

Então, a função de transferência do sistema será: Sendo a função degrau, na transformada Z, dada abaixo, a saída do sistema será:

Saída do sistema: O valor final de c(kT), quando k ∞:

Simulação do sistema:

Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

Matematicamente, também podemos relacionar os pólos entre o plano-S e o plano-Z: Seja a função de transferência de segunda ordem no plano-S: Os pólos serão: Esses pólos no plano-S serão equivalentes aos pólos do plano-Z:

Com a relação dada no slide anterior, e fazendo algumas manipulações matemáticas, obtemos os parâmetros de coeficiente de amortecimento, frequência natural e constante de tempo para o sistema de segunda ordem: Coeficiente de amortecimento: Frequência natural: Constante de tempo:

Equação Característica

Equação Característica
Considere o sistema de malha fechada apresentado na figura abaixo: A função de transferência do sistema é: A equação característica (EC) do sistema é: As raízes da EC são os pólos da função de transferência em malha fechada.

Exemplo Seja o sistema apresentado abaixo:
A função de transferência do sistema será: A equação característica do sistema é:

Exemplo Os pólos do sistema são complexos e localizados em:
Com esses dados podemos obter o coeficiente de amortaecimento, a frequência natural e a constante de tempo do sistema: Lembrando que Logo,

Exemplo Se compararmos os valores do coeficiente de amortecimento, frequência natural e constante de tempo do sistema, veremos que os valores quando o controle é totalmente analógico difere dos valores quando o controle é digital. Isto se deve ao fato do período de amostragem ser alto.

Exemplo Para que a amostragem não tenha efeito sobre o sistema, o período de amostragem T deve ser muito menor do que a constante de tempo τ do sistema. A razão τ/T é simplesmente o número de amostras por constante de tempo. ou

Estabilidade de Sistemas Discretos

Nesta seção será estudada a estabilidade de sistemas de controle discretos no tempo. Considere o seguinte sistema: A estabilidade do sistema acima será determinada pela localização dos pólos em malha fechada no plano-Z:

Assim, tomando a EC do sistema analisamos: Para o sistema ser estável, os pólos em malha fechada ou as raízes da EC devem estar dentro do círculo unitário no plano-Z. Qualquer pólo em malha fechada que estiver fora do círculo torna o sistema instável. Se um único pólo estiver em z=1 (ou pólos complexos em |z|=1), o sistema se torna criticamente estável. Mais de um pólo em cima do círculo unitário torna o sistema instável. Os zeros em malha fechada não afetam a estabilidade absoluta do sistema e portanto, podem estar localizados em qualquer lugar do Plano-Z.

Exemplo Considere o sistema de controle da figura abaixo. Determine a estabilidade do sistema quando K =1. Solução

Exemplo Sendo a função de transferência em malha fechada, A equação característica é:

Exemplo Equação Característica: As raízes da EC são: Como, Logo, o sistema é estável.

Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade
Três testes de estabilidade podem ser aplicados diretamente a equação característica, P(z) = 0, sem ter que resolver as raízes dessa equação. Esses testes são: Teste de estabilidade Schur-Cohn Teste de estabilidade Jury Transformação bilinear (Critério de Routh-Hurwitz)

Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade
Os dois primeiros testes revelam a existência de possíveis raízes instáveis ( raízes que se localizam fora do círculo unitário no plano Z); Ambos os testes ( Schur-Cohn e Jury) podem ser aplicados a equações polinomiais com raízes reais ou complexas. Entre os testes, daremos ênfase ao teste de estabilidade de Jury.

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury
Um critério de estabilidade para sistemas discretos muito utilizado é o critério de Jury (ou teste de estabilidade de Jury). O teste de Jury é aplicado a partir de uma equação característica P(z). Uma tabela será construída sendo os elementos da tabela dados pelos coeficientes da equação característica P(z).

Seja a equação característica de um sistema discreto expressa como: A tabela para o teste de Jury é então formada como apresentada ao lado:

As linhas “pares” da tabela são os elementos da linha anterior, mas com a ordem invertida. Já os elementos das linhas “ímpares” são formados a partir dos determinantes:

As condições necessárias e suficientes para que a EC P(z) não tenha raízes fora do círculo unitário são: O teste de Jury pode ser aplicado da seguinte maneira: Teste as três primeiras condições (1), (2) e (3). Pare se uma dessas não for satisfeita. Construa a tabela e teste as condições seguintes. Pare se uma das condições não for satisfeita. Para sistemas de ordem n, serão necessárias um total de n+1 restrições.

Exemplo 2 Suponha que a eq. característica de um sistema discreto em malha fechada é dada pela expressão: Solução A ordem do sistema é 3 (n = 3). Para essa EC temos:

Exemplo 2 Primeiramente, iremos analisar as três primeiras condições: ok ok ok

Exemplo 2 Passaremos para a construção da tabela de Jury: Como a ordem do sistema é 3, iremos analisar até a 4a restrição.

Exemplo 2 Passaremos para a construção da tabela de Jury: ok

Portanto, como todas as restrições possíveis foram satisfeitas, concluímos que o sistema é estável. Podemos ver essa mesma situação (sistema estável) ao fatorarmos a EC: ok

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