Sistemas lineares Aula 1 - Sinais.

Apresentação em tema: "Sistemas lineares Aula 1 - Sinais."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas lineares Aula 1 - Sinais

2 Conceitos Sinais e sistemas Sinais Definições Descrições
Representações matemáticas Classificações Sinais Elementares (básicos) Operações

3 Sinais Definição: Exemplo
Um sinal é a representação física de uma informação Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o comportamento ou a natureza de uma natureza física Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t representa o tempo Exemplo Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, vc(t), ou a corrente no resistor, i(t)

4 Sinais Exemplo Batimentos cardíacos;
Flutuação diária dos preço das ações; Sinais de fala; Imagem;

5 Sistema Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações Definição Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro conjunto de sinais (saída) Implementação Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas Exemplos: Sistema automático de fala; Circuito elétrico;

6 Classificação de sinais
Sinais de tempo contínuo: O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja, definida para todo valor de t. Sinais de tempo discreto: O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em tempos discretos;

7 Classificação de sinais
Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.

8 Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares: Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se: 𝑥 −𝑡 =𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡 Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se: 𝑥 −𝑡 =−𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡 Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto.

9 Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par 𝑥 𝑝 (𝑡) e um sinal ímpar 𝑥 𝑖 𝑡 : 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑝 𝑡 + 𝑥 𝑖 (𝑡) Então: 𝑥 𝑝 (𝑡)= 𝑥 𝑡 +𝑥(−𝑡) 2 𝑥 𝑖 (𝑡)= 𝑥 𝑡 −𝑥(−𝑡) 2

10 Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares Exemplo: Decomponha 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑗𝑡 em sinais pares e ímpares. Propriedades: O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par; O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar;

11 Classificação de sinais
Sinais periódicos e não periódicos: Um sinal 𝑥(𝑡) é períodico se satisfizer a condição: 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡+𝑇 , ∀ 𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇>0 T é chamado de período do sinal; O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e normalmente designado por T0; Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não periódico ou aperiódico;

12 Classificação de sinais
Sinal real: Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais; Sinal complexo: Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo 𝑥 𝑅 𝑡 + 𝑗 𝑥 𝐼 𝑡 , onde xR(t) e xI(t); Sinal determinístico: Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função matemática conhecida; Sinal aleatório: Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos estatisticamente;

13 Sinais elementares São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas; Servem como blocos para construção de sinais mais complexos; São eles: Exponencial; Degrau; Senoidal; Impulso; Rampa;

14 Sinais elementares Sinal exponencial real: De forma geral: 𝑥 𝑡 =𝐵 𝑒 𝑎𝑡
Onde: B é a amplitude no instante t = 0; Se a > 0, exponencial crescente Se a < 0, exponencial decrescente

15 Sinais elementares Sinais senoidais:
Forma mais geral pode ser escrito como: 𝑥 𝑡 =𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡+ ∅) Onde: A é a amplitude; w é a frequência em radianos por segundo; Ø é o ângulo de fase em radianos;

16 Sinais elementares Sinal exponencialmente amortecido: De forma:
𝑥 𝑡 =𝐴 𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡+∅

17 Sinais elementares Função degrau ou de Heaviside: Definição:
𝑢 𝑡 = 1, 𝑡≥0 0, 𝑡<0

18 Sinais elementares Função impulso ou delta de Dirac: Definição:
𝛿 𝑡 =0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡≠0 E −∞ ∞ 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 =1

19 Sinais elementares Sinal rampa: Definição: 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡≥0 0, 𝑡<0 Ou:
𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡≥0 0, 𝑡<0 Ou: 𝑟 𝑡 =𝑡.𝑢(𝑡)

20 Operações básicas Operações realizadas nas variáveis dependentes:
Mudança de escala de amplitude: 𝑦 𝑡 =𝑐.𝑥(𝑡) Adição: 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 +𝑧 𝑡 Multiplicação: 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 .𝑧(𝑡) Diferenciação: 𝑦 𝑡 = 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Integração: 𝑦 𝑡 = −∞ 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡

21 Operações básicas Operações realizadas nas variáveis dependentes:
Exemplos: Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores. Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op Multiplicação: Circuito modulador AM Diferenciação: Circuito com indutor 𝑣 𝑡 =𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 Integração: Circuito com capacitor 𝑣 𝑡 = 1 𝐶 −∞ 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡

22 Operações básicas Realizadas na variável independente:
Mudança de escala: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎.𝑡) Se 0<𝑎<1, expansão; Se 𝑎>1, compressão;

23 Operações básicas Reflexão: 𝑦 𝑡 =𝑥(−𝑡)

24 Operações básicas Deslocamento: 𝑦 𝑡 =𝑥(𝑡− 𝑡 0 )

25 Operações básicas Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑎𝑡−𝑏 Esta esta relação satisfaz: 𝑦 0 =𝑥 −𝑏 𝑦 𝑏 𝑎 =𝑥(0) Primeiro fazemos os deslocamento temporal, 𝑥(𝑡−𝑏), posteriormente fazemos o escalonamento temporal 𝑥(𝑎𝑡)

26 Operações básicas Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: Exemplo: 𝑦 𝑡 =𝑥(2𝑡+3)