MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

Apresentação em tema: "MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE"— Transcrição da apresentação:

1 MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE
CAPÍTULO 18 Parte 1b MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

2 Solução do Sistema de Equações do Tipo MIMO

3 Problema de autovalores – MODELO REAL
Ao utilizar algum dos métodos apresentados até aqui para descrever o comportamento dinâmico de um sistema de múltiplos graus de liberdade (método energético ou Newtoniano), chaga-se a um sistema de equações do tipo. (01) Considerando, por enquanto, f(t) =0 para obter a solução homogênea. Isto é; (02) (03) Supondo que esta solução é dada por;

4 1º - considere-se que C=0 em primeira instância sem perda de generalidade
 a equação (2) junto com a solução proposta na Eq. (3) darão (04) ou (05) Definindo =2, chega-se ao seguinte problema de autovalores (a) (06)

5 conhecido i => freqüência natural do sistema não amortecido
resolvendo este problema de autovalores obtém-se: sendo: n = graus de liberdade do sistema M = matriz simétrica e positivo definido K = matriz simétrica e positivo definido i = i-ésima autovalor do sistema i = i-ésima autovalor do sistema associado a i conhecido i => freqüência natural do sistema não amortecido i => modo de vibrar associado à freqüência natural i

6 (07) (b) Por outro lado, partindo da equação (5)
para encontrar uma solução não trivial, 0  (07) o que forma um polinômio de 2n ou n com n raízes reais e diferentes.

7 Isto porque a Eq. (5) possui infinitas soluções.
Uma vez achado i, substituindo em (5), é possível achar, a menos de uma constante, os autovetores do problema (modos de vibrar) i. Isto porque a Eq. (5) possui infinitas soluções. As freqüências naturais determinam, para o sistema não amortecido, as freqüências para as quais o sistema possui uma impedância muito baixa ou nula. Ao ser excitado nessa freqüência, o sistema responderá com grande amplitude de vibração. Os modos de vibrar representam a forma de vibrar do sistema para cada freqüência natural.

8 NO CASO DA VIGA:

9 autovalores  i freqüência natural não amortecida
autovetores associados a cada freqüência A forma de vibrar da 1ra freqüência natural OBS: Solução “pobre” para determinar a segunda e terceira freqüência natural assim como o seus modos de vibrar da viga.

10 Exemplo: FAZER COMO TAREFA PARA CASA
Considerar uma viga simplesmente apoiada, como a do laboratório de pesquisa e desenvolvimento. Encontrar as matrizes de massa e rigidez e calcular as freqüências naturais e os modos de vibrar associado. Usar o método dos coeficientes de influencia. Calcular com precisão as primeiras 5 freqüências naturais. MATLAB problemas de autovalores  K = M [FI, lam] = eig [K,M];  K = M [FI, lam] = eig (M-1K)  (M-1K)  =  Lam = é a matriz diagonal de autovalores (denominada matriz espectral nxn) FI = é a matriz de autovetores (denominada matriz modal nxn)

11 ORTOGONALIDADE DOS MODOS
Escolha um autovalor i e um autovalor j ambos distintos tal que (08) (09) Pré-multiplicando (8) e (9) por , respectivamente

12 (10) (11) Substituindo a equação (11) com (10) e considerando a simetria de M e K, isto é

13 (12) tem-se

14 (13) (14) Assim, de (12), resulta que se i  j  i  j
isto significa que os vetores i e j ortogonais em relação a M e K.

15 Se i=j (13) e (14) são diferentes de zero
(15) (16)

16 MATRICIALMENTE (17) (18) Ortogonalizando os autovetores i por ; ou seja

17 (19) (20) Inversa da matriz de autovetores sendo:
O produto dado em (17) e (18) ficam: (19) Inversa da matriz de autovetores (20) sendo: I = matriz de identidade o = matriz ortonormalizada de  através da matriz de massa mi = massa modal ki = rigidez modal

18

19 ambos modelos matemáticos representam o sistema

20 PROBLEMA AUTO-AJUNTO:
Ambos autovetores (direita e esquerda) são iguais ou D=DT são reais se M e K são positivos e positivos semi definido obs: i é real ou zero

21 TEOREMA DA EXPANSÃO (21) (22)
Devido às propriedades dos autovetores (condição de ortogonalidade) e que as mesmas  ao espaço vetorial n – dimensional, podem ser utilizadas com uma base para encontrar a resposta do sistema (qualquer vetor deste espaço). Assim, a solução do sistema pode ser expressada por: (21) para achar os ci, e assim a resposta do sistema como uma combinação linear do sistema, multiplica-se (21) por Assim; (22)

22 (23) Se os autovetores são ortogonalizados através da matriz de massa:
o que mostra que é possível encontrar os diferentes ci e escrever a solução do sistema q(t) no espaço n-dimensional como uma combinação dos autovetores do sistema. “teorema da expansão”

23 A partir do teorema da expansão, encontra-se a solução do problema de vibração da seguinte forma
(24) A equação (24) representa uma transformação de coordenadas do espaço de configuração {q(t)} para o espaço modal {p(t)} através da matriz  {q(t)}  coordenadas generalizadas no espaço de configuração {p(t)}  coordenadas generalizadas principais no espaço modal do sistema substituindo {q(t)}, equação (24) em (1) e pré multiplicando por T

24 (25) (26) (27) A ith equação (sistema desacoplado) será; com i = 1, n
devido à ortogonalidade da matriz  (ortonormalizada pela matriz massa) em relação a M e K. A ith equação (sistema desacoplado) será; (27) com i = 1, n Achando a solução da homogênea em pi(t)  a resposta no espaço de configurações pode ser encontrada qi(t) (i=1, n) através da equação (24)

25 Considerando amortecimento viscoso proporcional (proporcional em relação à matriz de massa e rigidez) da forma: (28) a equação (25) torna-se (29) onde

26 cuja solução será, para i =0 !!!
e a i-ésima linha do sistema de equações desacoplado (30) sendo mi=1 para  ortogonalizando através de M. Definindo com i = 1, n cuja solução será, para i =0 !!! (31) i= 1, n sendo Ci e i constantes de integração que dependem das condições iniciais.

27 Uma vez achado pi(t) para i=1,n  a solução do sistema (solução homogênea no espaço de configuração) será (32) dado os seguintes condições iniciais (33)

28 considerando a ortogonalidade dos autovetores e pré-multiplicando por {j}T M
(34) A solução do sistema de MGL, não amortecido, solução da homogênea com condições iniciais (35)

29 Resposta Para Condições Iniciais (CASO AMORTECIDO)
No espaço modal na i-ésima componente, tem-se (37) A solução desta equação diferencial equação característica

30 cujas raízes são C C2 Supondo

31 (38) (39) e a resposta na configuração espacial, q(t) (40)

32 Vejamos quando vale r e r
Vejamos quando vale r e r. Como {q(0)} pertence ao espaço n-dimensional, pode ser escrito como uma combinação de base formada pelo autovetores {} (41) e como

33 (42) onde (43) caso a condição inicial fosse {q(0)} = {}r (deformação ou deslocamento em um dos modos apenas) e  a resposta livre será dada por: (44) o que representa uma oscilação modal, isto é, oscilações acompanham a distribuição do r-ésimo modo, acompanhado de um decaimento nas amplitudes devido ao fator e-Srt

34 DINÂMICA de ESTRUTURAS

35 Problemas de Autovalores – Amortecimento Viscoso Geral
Dado o sistema dinâmico (45) sendo M, C e K matrizes de massa, amortecimento e rigidez simétrica, respectivamente, e C é a matriz de amortecimento não proporcional. (46) (47) a equação (45) fica: (48)

36 (49) (50) e para se ter uma solução não trivial i{}0
Os coeficientes p1, p2,...p2n são reais já que M, C e K são matrizes reais.

37 (51) (52) Defini-se a variável de estado
Reescrevendo a equação (45) em função da variável de estado chegam-se aos seguintes sistemas de equações: (52) sistema de n equações com 2n incógnitas.

38 Adicionando a seguinte identidade a (52) obtém-se um sistema de 2n equações com 2n incógnitas. Assim, (53) e (42) com (53) formam (54) ou em forma compacta ; com g = [f 0]T (55) considerando f=0 e supondo que

39 NOTA: os primeiros componentes de formam o vetor  da expressão (48).
Na realidade esta supondo que: Portanto (56) com a hipótese acima, a equação (55) fica; (57) (58) ou (59) sendo

40 (60) (61) (62) (63) Com  ortonormalizada por A, chega-se a
Se A e B são simétricos, é fácil mostrar como foi visto, que a seguinte relação de ortogonalidade é satisfeita. (60) sendo jk o delta de Kronecker. (61) Com  ortonormalizada por A, chega-se a (62) aqui aj=1 e bj=j com j=1, 2n (63)

41 (64) (65) e ; j = 1, 2n matriz espectral
Lembrar que j = [j sj] com j=1, 2n. Considerando j, k de 1 a 2n, mostrar-se que (64) (65) onde é conhecido como matriz modal e ; j = 1, 2n matriz espectral

42 (66) (67) A inversa da matriz modal existe já que de (64)
A expressão (60), pode ser escrita de forma mais expandida (67) desenvolvendo este produto

43 (68) (69) De (61) pode-se obter analogamente
outra relação de ortogonalidade

44 Resposta as Condições Iniciais, ou Estado Inicial: VIBRAÇÃO LIVRE

45 Como os j , j=1, 2n são ortogonais dois a dois, a matriz  é não singular, podendo ser utilizada como uma base para realizar o seguinte transformação de coordenadas (70) NOTA: como y é real e  é complexa  p é complexa. Substituindo (70) em (55), para g=0, e pré-multiplicando por T, obtém-se (71) sendo  a matriz espectral e diz (i)

46 (72) (73) A j-ésima fila do sistema 2n x 2n equações descopladas serão
; j= 1, 2n (72) cuja solução é dada por (73) já que j = - Sj e Cj são constante arbitrárias (j = 1, 2n).

47 Assim, a solução no espaço do estado será (equação (70))
(75) e como (76) (77) a solução q(t) é obtida como uma combinação linear dos autovetores e dos autofunções.

48 As constantes c, são determinadas em função do estado inicial
(77) portanto para t=0 (78) onde (79) Considere-se o caso em que o autovalor i= - sj é um numero complexo  sj é um numero complexo

49 Como o poligonal (50) é real (isto é, os coeficientes pi, são reais devido a que A e B são reais), existirá uma raiz sj conjugada de sk, ou seja, sk = sj* (80) A este par, corresponderá na resposta y(t) duas parcelas, (81) concluindo que fora a resposta ser real no tempo  (81) toma a forma o que leva a que Cj = Ck*  cada par de autovalores n complexos conjugados e as seus respectivos autovetores que formam parte da resposta ou estado

50 (82) NOTA: Cj e Dj são reais
j, para o sistema ser estável, deve ser negativo; j recebe o nome de freqüência natural amortecida do sistema

51 (83) (84) (85) Tomando a equação (68), com sj e sk = sj*, obtém-se
já considere uma parte de 2n ao tomar os dois autovalores sj e sk = sj* e j e k = j* Tomando a equação (68), com sj e sk = sj*, obtém-se (84) se a expressão (84) fica: ; j = 1 ,n (85)

52 NOTA: cj e mj são reais. Fazendo a mesma coisa com a equação (69)
(86) ; j = 1, n (87) Da equação (85) e (86) onde, por definição

53 definindo (88) (89)

54 (90)