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Equações algébricas e transcendentais

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Apresentação em tema: "Equações algébricas e transcendentais"— Transcrição da apresentação:

1 Equações algébricas e transcendentais
Aula 3 Processos iterativos; Bissecção; Posição Falsa; Newton;

2 Método da Bissecção Seja [a,b] um intervalo que contenha uma raiz de f(x)=0, onde f(x) é uma função que corta o eixo das abscissas em algum ponto deste intervalo [ou seja, f(a)f(b) < 0]. Assim, calcula-se f(x) no ponto médio de [a,b]: se f(xm)  0 e f(a)f(xm) < 0 ou f(xm)f(b) < 0, escolhe-se um novo intervalo de modo que f tenha sinais opostos nas suas extremidades; repete-se o processo, voltando ao passo 1, até que um critério de parada seja satisfeito, neste caso o DIGSE ( xm, xm+1  t, para t  R pré definido).

3 Método da Bissecção Graficamente, as iterações são representadas abaixo: e assim sucessivamente.

4 Método da Bissecção Exemplo 1: Obter a raiz de f(x)=ex - sen(x) – 2.

5 Método da Bissecção As características do método da bissecção são as seguintes: permite isolar raízes reais; o limite de erro é obtido diretamente; possui baixa velocidade de convergência, mas a convergência é garantida; é simples; possui alto custo computacional.

6 Método da Posição Falsa
O algoritmo para este método é dado pela seguinte seqüência de passos: Arbitra-se x0 e x1, tais que f(x0)f(x1) < 0. Aproxima-se x2 a partir da expressão Se o critério de parada é satisfeito, então x2 é a resposta. Caso contrário, segue-se. Se f(x0)f(x2) < 0, mantém x0 inalterado e substitui x1 por x2; e retorne ao passo 2. Caso contrário, manter x1 inalterado e substituir x0 por x2; calcular a nova aproximação como no passo 2.

7 Método da Posição Falsa
Graficamente, as iterações são representadas abaixo:

8 Método da Bissecção Exemplo 1: Calcular a raiz real do polinômio p(x) = x3 - 5x2 + 17x + 21 com DIGSE 5 pelo método da posição falsa. Solução: Considerando x0= -1 e x1 = 0 a aplicação do método da posição falsa fornece os seguintes valores: Logo, segundo a tabela (2.2), para DIGSE(x3,x4)  5, a raiz é aproximadamente -0,

9 Método de Newton Consiste num método de aproximações sucessivas da forma que resulta da equação da reta tangente, onde: y - y0 = m (x - x0) y - f(xi) = f '(xi) (x - xi) y = 0  -f(xi) = f '(xi)(xi+1 - xi) O procedimento iterativo é assim realizado: arbitra-se x0 e observa-se a convergência durante o processo iterativo; caso não convirja, escolhe-se outro x0 e reinicia-se o processo iterativo.

10 Método de Newton Geometricamente, dado um ponto (xk, f(xk)), traça-se uma tangente à curva neste ponto. Faz-se, então, xk+1 = xk até obter a convergência. Exemplo ...

11 Método de Newton Exemplo: Obter as raízes de f(x) = 2x – cosx.
Para a função f(x) = 2x - cos x tem-se f '(x) = 2 + sen x, o que resulta em Começando com obtém-se os dados da tabela (2.3).

12 Exercícios Use a regra de Descartes para inferir sobre as raízes de p(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 -3x +4 e avalie a raiz real positiva pelo método de Newton e uma negativa por bissecção. Encontre as raízes reais de p(x) = 2x4 - 8x3 - x2 + 10x - 2 = 0 usando o método da posição falsa Encontre as raízes reais negativas de p(x) = x5 + 2x4 - 9x3 - 5x2 + 10x - 2 utilizando a o método mais apropriado. Encontre uma raiz real de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = x3 + e2x – 7 b) f(x) = 3x – e-2x c) f(x) = sen(x) – 4x


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