Redução de ruídos Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente.

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1 Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

2 Redução de ruídos Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I. 20 dB significam

3 Dois tipos básicos de ruídos
Ruído Gaussiano branco : processo estocástico de média zero, independente do tempo e dos espaço. é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo. é uma variável aleatória com a distribuição:

4 Dois tipos básicos de ruídos
Ruído impulsivo: causado por erro de transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta. são v.a. uniformemente distribuídas imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.

5 Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)

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7 Imagem com ruído impulsivo
Uso da mediana 223 204 171 120 18 50 116 138 97 187 242 172 179 167 235 76 175 123 214 114 143 232 198 203 205 Iij = mediana Ωij

8 Sinal com ruído

9 Filtragem Gaussiana

10 Mascara ou Filtro ou:

11 Convolução

12 Ilustação da convolução

13 Ilustração da convolução

14 Discretização da Gaussiana 1D
0.3 0.2 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

15 Discretização da Gaussiana 2D

16 Separabilidade do filtro gaussiano
207 247 38 131 62 90 129 234 231 211 175 44 1 26 236 58 75 128 112 210 141 125 168 130 117 129 125 90 88 93 92 185 113 84 93 145 207 151 66 18 107 111 154 140 130 130 117 129 125 90 88 93 92

17 Série de Fourier f(t) t T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
T Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

18 Coeficientes da Série f(t) t T

19 Eixo de freqüência

20 Domínios f(t) tempo ou espaço t T ak w bk freqüencia w

21 Coeficientes de funções pares e ímpares
f-ímpar ak= 0 f-par bk= 0

22 Série de Fourier com números complexos

23 Escrevendo em complexos

24 Periodicidade da Série de Fourier
f(t) t T t f(t) T

25 Transformada de Fourier

26 Sinal discreto r t 1 2 3 4 5 6 N-1

27 1 2 3 4 5 N t . . .

28 onde: onde:

29 onde: onde:

30 Transformada de Fourier

31 Transformada de Fourier (discreta e normalizada)

32 Transformada normalizada de Fourier: separação

33 Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

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38 Problemas com a Transformada de Fourier

39 Transformada de Mellin

40 Transformada de Mellin

41 Transformada de Mellin

42 Transformada de Mellin

43

44 Transformada de Mellin

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46 Resultados da Transformada de Fourier

47 Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x) a x b

48 Transformada da função box
f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

49 Distribuição normal: Gaussiana

50 Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

51 Transformada do Delta de Dirac
f(x) (x) x || F(w) || w 1

52 Exemplo 4: Cosseno || F(w) || x w

53 Cosseno e Harmônicos 1 -1 i -i o cosseno corresponde a média de
dois harmônicos de freqüências w e -w

54 Exemplo 5: Sequência de impulsos
f(x) || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b x -2b -1b 1b 2b 3b w f(x) || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b x 1b 2b 3b -1b -2b

55 Pares importantes

56 Propriedades da transformada
convolução

57 Filtragem nos domínios espacial e de freqüência
ou: Filtragem no domínio espacial pode ser obtida pela convolução Filtragem no domínio da frequencia pode ser obtida por uma transformada, seguida de um produto e de uma transformada inversa.

58 Tipos de Filtros F G H Passa baixa  = Passa alta  = Passa banda  =

59 Imagem filtrada com um filtro passa baixa

60 Imagem filtrada com um filtro passa alta

61 An undersampled signal

62 Amostragem e Reconstrução
Observando os domínio do espaço e das freqüências

63 Sinal original domínio do espaço domínio das freqüências

64 Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produto
convolução

65 Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

66 Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convolução
produto

67 Retorno ao sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências

68 Sinal original com mais altas freqüências
domínio do espaço domínio das freqüências

69 Mesma taxa de amostragem
domínio do espaço domínio das freqüências produto convolução

70 Sinal amostrado Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!
domínio do espaço domínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

71 Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

72 Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing.
Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. Passar um filtro passa-baixa no sinal. Aumentar a freqüência de amostragem.

73 Alias                                                                                                                                                            Texture errors