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Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier.

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Apresentação em tema: "Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier."— Transcrição da apresentação:

1 Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

2 Redução de ruídos Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I. 20 dB significam

3 Dois tipos básicos de ruídos Ruído Gaussiano branco : processo estocástico de média zero, independente do tempo e dos espaço. é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo. é uma variável aleatória com a distribuição:

4 Dois tipos básicos de ruídos Ruído impulsivo: causado por erro de transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta. são v.a. uniformemente distribuídas i min, i max, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.

5 Exemplo de ruído Gaussiano ( =5) e Impulsivo ( =0.99)

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7 Imagem com ruído impulsivo Uso da mediana I ij = mediana ij

8 Sinal com ruído

9 Filtragem Gaussiana

10 Mascara ou Filtro ou:

11 Convolução

12 Ilustação da convolução

13 Ilustração da convolução

14 Discretização da Gaussiana 1D

15 Discretização da Gaussiana 2D

16 Separabilidade do filtro gaussiano

17 Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

18 Coeficientes da Série t f(t)f(t) 0 T

19 Eixo de freqüência

20 Domínios t f(t)f(t) 0 T w akak 0 w bkbk 0 tempo ou espaço freqüencia

21 Coeficientes de funções pares e ímpares f-ímpara k = 0 f-parb k = 0

22 Série de Fourier com números complexos

23 Escrevendo em complexos

24 Periodicidade da Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T t f(t)f(t) 0 T

25 Transformada de Fourier

26 Sinal discreto t N-1 r

27 N t...

28 onde:

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30 Transformada de Fourier

31 Transformada de Fourier (discreta e normalizada)

32 Transformada normalizada de Fourier: separação

33 Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

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38 Problemas com a Transformada de Fourier

39 Transformada de Mellin

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46 Resultados da Transformada de Fourier

47 Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

48 Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w sinc( bw) f(x)f(x) x a b

49 Distribuição normal: Gaussiana

50 Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

51 Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

52 Exemplo 4: Cosseno || F(w) || w x

53 Cosseno e Harmônicos 1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

54 Exemplo 5: Sequência de impulsos w f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b

55 Pares importantes

56 Propriedades da transformada convolução

57 Filtragem nos domínios espacial e de freqüência Filtragem no domínio espacial pode ser obtida pela convolução Filtragem no domínio da frequencia pode ser obtida por uma transformada, seguida de um produto e de uma transformada inversa. ou:

58 Tipos de Filtros FG = = = H Passa baixa Passa alta Passa banda

59 Imagem filtrada com um filtro passa baixa

60 Imagem filtrada com um filtro passa alta

61 An undersampled signal

62 Amostragem e Reconstrução Observando os domínio do espaço e das freqüências

63 Sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

64 Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produtoconvolução

65 Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

66 Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convoluçãoproduto

67 Retorno ao sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

68 Sinal original com mais altas freqüências domínio do espaçodomínio das freqüências

69 Mesma taxa de amostragem domínio do espaçodomínio das freqüências produtoconvolução

70 Sinal amostrado domínio do espaçodomínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

71 Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

72 Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. –Passar um filtro passa-baixa no sinal. –Aumentar a freqüência de amostragem.

73 Alias Texture errors


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