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Computer Vision Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205.

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1 Computer Vision Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

2 Computer Vision Separabilidade Lembrando o par de Transformadas de Fourier

3 Computer Vision Separabilidade Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:

4 Computer Vision Separabilidade Expandindo e arrumando:

5 Computer Vision Separabilidade Da mesma forma, para a transformada inversa:

6 Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

7 Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

8 Computer Vision Translação Um problema para visualizar o espectro de Fourier de Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0

9 Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|

10 Computer Vision Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u 0, v 0, x 0, y 0 : e

11 Computer Vision Translação Mas, quando M = N e u 0 = v 0 = N/2 : Substituindo (2) em (1), concluímos que:

12 Computer Vision Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11: Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y

13 Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização é melhor claramente melhor f(x,y) |F(u,v)| sem Shift |F(u,v)| com Shift

14 Computer Vision Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:

15 Computer Vision Rotação Se introduzirmos coordenadas polares: Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:

16 Computer Vision Rotação Exemplo de Rotação

17 Computer Vision Distributividade Uma vez que: A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO Mas... A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO

18 Computer Vision Escala Para dois escalares a e b

19 Computer Vision Valor Médio

20 Computer Vision Valor Médio

21 Computer Vision Resultados da Transformada de Fourier

22 Computer Vision Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

23 Computer Vision Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w sinc( bw) f(x)f(x) x a b

24 Computer Vision Distribuição normal: Gaussiana

25 Computer Vision Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

26 Computer Vision Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

27 Computer Vision Pares importantes

28 Computer Vision Propriedades da transformada

29 Computer Vision Descritores de Fourier

30 Computer Vision Descritores de Fourier

31 Computer Vision Descritores de Fourier


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