Capítulo Função quadrática 4 4.1.

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1 Capítulo Função quadrática 4 4.1

2 Função quadrática Uma função f: ℝ  ℝ é função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a  0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x real.    Exemplos f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15 g(x) = , em que a = – , b = 0 e c = 5 h(x) = –x , em que a = , b = –1 e c = 0 Os números reais a, b e c são os coeficientes da função quadrática. 4.1

3 Valor de uma função quadrática
Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular Nesse caso, temos ; então: Logo: 4.2

4 f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c  ℝ e a ≠ 0
Lei de formação de uma função quadrática Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f. f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c  ℝ e a ≠ 0 Temos: Se f(0) = 2, para x = 0, temos f(x) = 2. Portanto: 2 = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c  c = 2 (I) Se f(2) = 12, para x = 2, temos f(x) = 12. Portanto: 12 = a ∙ 22 + b ∙ 2 + c  4a + 2b + c = 12 (II) Se f(–1) = 6, para x = –1, temos f(x) = 6. Portanto: 6 = a ∙ (–1)2 + b ∙ (–1) + c  a – b + c = 6 (III) 4.3

5 Lei de formação de uma função quadrática
De (I), (II) e (III), obtemos o sistema: Pela equação (I), temos c = 2. Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações (II) e (III), substituindo c por 2: 4.3

6 Lei de formação de uma função quadrática
Substituindo a por 3 em a – b = 4, temos: b = –1 Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = 3x2 – x + 2 4.3

7 Exercício resolvido R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:
b) x tal que g(x) = Resolução a) g( ) 4.4

8 Exercício resolvido R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:
b) x tal que g(x) = Resolução b) x = 0 ou x = 4.4

9 Exercício resolvido R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o molde de um setor circular. a) Escrever a lei que relaciona o raio desse setor e a área da figura. b) Considerando  = 3,14, determinar o raio para que a área da peça seja igual a 25 cm2. 4.5

10 Exercício resolvido R2. Resolução
O molde da peça metálica, ou seja, o setor circular, corresponde a do círculo. a Sabendo que a área do círculo é r2, sendo r seu raio, então a área do setor circular é: 4.5

11 Exercício resolvido R2. Resolução
b) Para que a área da peça seja igual a 25 cm2, fazemos A = 25; então: A = r2 = r ,85 r 5,64 Logo, o raio do setor circular é aproximadamente 5,64 cm. 4.5

12 Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3 x h(x) –1 8 3 1 2 4 5 4.6

13 Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3 x h(x) –1 8 3 1 2 4 5 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 4.6

14 Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo f(x) = x2 – 9 x f(x) –9 1 –8 3 –1 –3 4.7

15 Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo g(x) = –x2 + 8x – 12 x g(x) 1 –5 2 4 6 7 4.7

16 Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. j(x) = 2x2 + 4 Como a = 2 > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima.  4.8

17 Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Como , então a concavidade da parábola é voltada para baixo. 4.8

18 Exercício resolvido R3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m. a) Analisar a concavidade da parábola em função de m. b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função passe pelo ponto (0, –3)? Resolução a) A concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a da função. Para o gráfico ter a concavidade voltada para cima, o coeficiente de x2 deve ser positivo: m – 3 > 0  m > 3 4.9

19 Exercício resolvido R3. Resolução
a) Para o gráfico ter a concavidade voltada para baixo, o coeficiente de x2 deve ser negativo: m – 3 < 0  m < 3 b) Substituindo as coordenadas do ponto (0, –3) na lei da função, temos: –3 = (m – 3) ∙ ∙ 0 – m  m = 3 Mas, se m = 3, a função f não é quadrática, pois: a = 3 – 3 = 0 Portanto, não existe m  ℝ tal que a parábola passe pelo ponto (0, –3). 4.9

20 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
A parábola que representa a função f intercepta o eixo y no ponto (0, –1). A ordenada –1 desse ponto é o coeficiente c da função f. 4.10

21 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
A parábola que representa a função g intercepta o eixo y no ponto (0, 3). A ordenada 3 desse ponto é o coeficiente c da função g. 4.10

22 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
Considerando uma função quadrática cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, com a  0, as coordenadas do ponto onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c). 4.10

23 Zeros da função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c(a, b e c  ℝ e a  0) f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0 em que  = b2 – 4ac 4.11

24 Zeros da função quadrática
Quando  > 0, a função tem dois zeros reais distintos. e A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:  4.11

25 Zeros da função quadrática
Quando  = 0, a função tem um zero real duplo.  A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:  4.11

26 Zeros da função quadrática
Quando  < 0, a função não tem zeros reais. A parábola não intercepta o eixo x: 4.11

27 Zeros da função quadrática
Exemplos a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os pontos em que a parábola intercepta o eixo x Para isso, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau: x2 – 4x + 3 = 0  = (–4)2 – 4  1  3 = 16 – 12 = 14 x = 3 ou x = 1 Assim, os zeros da função são: x1 = 1 e x2 = 3  4.12

28 Zeros da função quadrática
Exemplos a) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em dois pontos: (1, 0) e (3, 0) 4.12

29 Zeros da função quadrática
Exemplos b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.  Para isso, vamos encontrar as raízes reais da equação: x2 – 4x + 4 = 0  = (–4)2 – 4  1  1 = 0 Assim, x1 = x2 = 2 (f(x) possui um zero real duplo) 4.13

30 Zeros da função quadrática
Exemplos b) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em um único ponto: (2, 0) 4.13

31 Zeros da função quadrática
Exemplos c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e se a parábola correspondente intercepta o eixo x.  Para isso, vamos resolver a equação do 2o grau: x2 – 4x – 5 = 0  = (–4)2 – 4  (–1)  (–5) = 16 – 20 = –4 Como  < 0, a equação –x2 – 4x – 5 não tem raízes reais e, portanto, a função f(x) = –x2 – 4x – 5 não tem zeros reais. 4.14

32 Zeros da função quadrática
Exemplos c) Logo, o gráfico da função não intercepta o eixo x: 4.14

33 Exercício resolvido R4. Considerando a função quadrática determinada por f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a função admite dois zeros reais distintos? Resolução Vamos calcular o discriminante da equação –2x2 – 6x – k = 0. = (–6)2 – 4  2  (–k) = k Para a função ter dois zeros, o discriminante deve ser positivo (  > 0). Logo: k > 0  k > 4.15

34 Exercício resolvido R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x) = kx2 + 2 passe pelo ponto A(1, 5). Resolução Substituindo as coordenadas do ponto A na lei da função f, obtemos a equação: f(1)= 5  k ∙ = 5  k = 3 Portanto, a função quadrática que passa pelo ponto A(1, 5) é: f(x) = 3x2 + 2 4.16

35 Exercício resolvido R6. Determinar a lei da função quadrática com base no gráfico. Resolução A parábola intercepta o eixo y no ponto (0, –6). Logo, f(0) = –6; assim, c = –6. Então, temos: f(x) = ax2 + bx – 6 4.17

36 Exercício resolvido R6. Resolução
A parábola intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Isso significa que 3 é zero da função f. Logo: f(3) = 0 Assim: a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0  9a – 3b = 6 (I) A parábola passa pelo ponto (3, 6). Logo: f(3) = 6 Portanto: a(3)2 + b(3) – 6 = 6  9a + 3b = 12 (II) 4.17

37 Exercício resolvido R6. Resolução
Somando, membro a membro, a equação (I) com a equação (II), obtemos: Substituindo a = 1 na equação (I) ou (II), obtemos: b = 1 Portanto, a lei da função quadrática representada pelo gráfico é: f(x) = x2 + x – 6 4.17

38 Vértice do gráfico da função quadrática
f(x) = x2 – 4x + 3 x f(x) –1 8 3 1 2 4 5 4.18

39 Vértice do gráfico da função quadrática
Eixo de simetria Quaisquer dois valores de x equidistantes de xV têm a mesma imagem. f(a) = f(b) = c 4.19

40 Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos f(x) = –x2 – 6x – 5 A equação do eixo de simetria é x = 3. 4.20

41 Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos f(x) = x2 + 4x + 10 A equação do eixo de simetria é x = –2. 4.20

42 Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos f(x) = 3x2 + 6x + 3 A equação do eixo de simetria é x = –1. 4.20

43 Vértice do gráfico da função quadrática
As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico da função cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, são dadas por: xv = e yv = 4.21

44 Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplo Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = –x2 – 5x – 7.  = (5 –)2 – 4  (–1)  (–7) = –3 Utilizando as fórmulas do vértice, temos: Portanto, as coordenadas do vértice são: 4.22

45 Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplo Ou: Conhecendo xv, podemos calcular yv sem utilizar a fórmula. Basta substituir o valor de xV na lei da função. Temos: = Então: 4.22

46 Exercício resolvido R7. Sabendo que uma função quadrática tem como coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5, determinar a lei de formação dessa função.  Resolução Para determinar a lei de uma função quadrática, precisamos encontrar os coeficientes a, b e c da função de modo que f(x) = ax2 + bx + c. 4.23

47 Exercício resolvido R7. Resolução
Como o vértice da parábola é (3, 4), temos: (I) (II) Como 1 é zero da função, f(1) = 0, ou seja: a  12 + b  1 + c = 0  a + b + c = 0 (III) 4.23

48 Exercício resolvido R7. Resolução Substituindo (I) em (III), obtemos:
a – 6a + c = 0  c = 5a Substituindo b por –6a e c por 5a em (II): –(–6a)2 + 4a(5a) = 16a  –16a2 – 16a = 0  a  (a + 1) = 0 a = –1 ou a = 0  O coeficiente a não pode ser zero, pois a função é quadrática. Como a função é quadrática, a = –1 e, portanto, b = 6 e c = –5. Então, a lei é: f(x) = –x2 + 6x – 5 4.23

49 Construção do gráfico da função quadrática
Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma função quadrática:A  ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista; ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da função), caso exista(m);  vértice. 4.24

50 Construção do gráfico da função quadrática
Exemplos Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3 coeficiente c: 3  ponto em que a parábola intercepta o eixo y: (0, 3) zeros da função: 1 e 3  pontos em que a parábola intercepta o eixo x: (1, 0) e (3, 0) xv = 2 e yv = –1  vértice da parábola: (2, –1) 4.25

51 Construção do gráfico da função quadrática
Exemplos Gráfico da função h(x) = x2 + 4 coeficiente c: 4  ponto onde a parábola intercepta o eixo y: (0, 4) zeros da função: não há no conjunto dos reais  a parábola não intercepta o eixo x xv = 0 e yv = 4  vértice da parábola: (0, 4) (2, 8) e (–2, 8)  pontos auxiliares 4.26

52 Estudo do sinal da função quadrática
1o caso ( > 0) 2o caso ( = 0) 3o caso ( < 0) a > 0 a < 0 4.27

53 Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6. Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0   x = –3 ou x = 2 Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função. Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para cima e a função tem dois zeros reais distintos, obtemos o seguinte esboço do gráfico: 4.28

54 Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos a) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas. Concluímos que: 4.28

55 Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15. Zeros da função g: – Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico: 4.29

56 Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos b) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas. Portanto: 4.29

57 Exercício resolvido R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k seja positiva para todo x real. Resolução Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima. Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante de f deve ser negativo.  4.30

58 Exercício resolvido R8. Resolução Assim, como  < 0:
Coeficiente de x2 positivo e  < 0 Assim, como  < 0: (–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k Como  < 0, então: 25 – 4k < 0 Logo: 4.30

59 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
yv é o valor mínimo da função. yv = 0 4.31

60 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
yv é o valor máximo da função. yv = 0 4.31

61 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
Exemplo Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função . Como a > 0, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima. Portanto, a função tem valor mínimo: Assim, –19 é o valor mínimo dessa função. 4.32

62 Exercício resolvido R9. Determinar k para que –1 seja valor mínimo da função quadrática y = (k – 1)x2 + kx +(k – 2). Resolução Para que uma função quadrática admita valor mínimo, o coeficiente do termo em x2 deve ser positivo. Então: k – 1 > 0 k > 1 4.33

63 Exercício resolvido R9. Resolução
Sabendo que o valor mínimo da função quadrática é dado por , temos: Como k > 1, temos k = 2. 4.33

64 Exercício resolvido R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por: h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo. a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima? 4.34

65 Exercício resolvido R10. Resolução
a) Para determinar a altura máxima que esse sinal pode atingir, precisamos encontrar o valor máximo da função. Analisando o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o sinal luminoso descreve um arco de parábola com concavidade voltada para baixo. É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice: Logo, a altura máxima que o sinal luminoso pode atingir é 320 metros. 4.33

66 Exercício resolvido R10. Resolução
b) O tempo que o sinal luminoso leva para atingir a altura máxima corresponde ao xv da parábola. Utilizando a fórmula da abscissa do vértice, temos: 8 Logo, o sinal luminoso atinge a altura máxima 8 segundos após o disparo. 4.34

67 Inequações do 2o grau Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero.a Exemplos a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0 c) 5x² – 2 < 0 b) –x² + 0,5x ≤ 0 d) –4x² + x > 0 4.35

68 Inequações do 2o grau Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos números reais. Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f: 3x² – 8x – 3 ≥ 0 f(x) Primeiro, determinamos os zeros de f: 3x2 – 8x – 3 = 0  = = 100 4.36

69 Inequações do 2o grau Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para os quais a função f é positiva ou nula. Assim, o conjunto solução da inequação é: S = 4.36

70 Inequação-quociente 14243 Exemplo f(x) = x – 5 (zero de f: 5)
g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7) Sinal de f Sinal de g 4.37

71 Inequação-quociente Exemplo
Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação. Logo, o conjunto solução da inequação é: S = 4.37

72 Inequação-quociente 14243 Exemplo f(x) = x (zero de f: 0)
–x3 – 4x < 0  x(–x2 – 4) < 0 14243 g(x) = –x² – 4 (g não tem zeros) Sinal de f Sinal de g 4.38

73 Inequação-quociente Exemplo Logo, o conjunto solução da inequação é:
4.38

74 Exercício resolvido R11. Resolver a inequação em ℝ. Resolução
Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o segundo membro da inequação-quociente for igual a zero. Então fazemos: 4.39

75 Exercício resolvido R11. Resolução f(x) = x² – 9 zeros de f: 3 e –3
g(x) = 2x zero de g: –5 Sinal de f Sinal de g 4.39

76 Exercício resolvido R11. Resolução
Observe que –5 não é solução da inequação, pois: 2x + 10 ≠ 0  x ≠ –5 Logo, o conjunto solução é S = 4.39

77 Exercício resolvido R12. Geometria. Determinar a área da parte azul da figura em função de x e encontrar o maior valor inteiro que x pode assumir. Resolução Indicando a área da parte azul por A, temos A(x) = , ou seja: A(x) = 5 – x2, com 0 < x < Como x > 0 e , o maior valor inteiro que x pode assumir é 2. 4.40

78 Inequações simultâneas
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte sistema de inequações: Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma mais simples: 4.41

79 Inequações simultâneas
Assim temos: f(x) g(x) Zeros de f: –4 e 2 Zeros de g: 1 e 2 Sinal de f Sinal de g S1 = S2= 4.41

80 Inequações simultâneas
A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações: Logo, o conjunto solução do sistema é: S = 4.41

81 Exercício resolvido R13. Resolver, em ℝ, a inequação 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4. Resolução Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma mais simples: (I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 2x2 – 4x ≤ 0 (II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4 2x2 – 2 < 0 f(x) g(x) 4.42

82 Exercício resolvido R13. Resolução f(x) = 2x2 – 4x zeros de f: 0 e 2
g(x) = 2x2 – 2 zeros de g: –1 e 1 Sinal de f Sinal de g 4.42

83 Exercício resolvido R13. Resolução
Depois fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações: Logo, o conjunto solução da inequação simultânea é: S = 4.42

84 Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
Exemplo Vamos determinar o domínio da função dada pela lei f(x) Em , devemos ter: h(x) 4.43

85 Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
Exemplo Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente: f(x) = x² – 2x + 1 zero real duplo de f: 1 h(x) = 2x – 7 zero de h: Sinal de f Sinal de h 4.43

86 Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
Exemplo O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o denominador da inequação: Logo, D = 4.43

87 Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: Vendas e atendimento: Tel. (0__11) Fax (0__11) 2012