FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

Apresentação em tema: "FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I"— Transcrição da apresentação:

1 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
Aula 9: Cortes e Intervalos Prof. Mário Alves

2 Conteúdo Programático desta aula
Cortes e propriedade do corte; Celas; e Intervalos.

3 . CORTES Dizemos que um par ordenado (A,B) de subconjuntos não-vazios de R é um corte se: Exemplo: Considere um elemento fixo Vamos definir dois conjuntos:

4 . CORTES De fato, par ordenado (A,B) de subconjuntos não-vazios de R é um corte, pois: Todo corte em R é determinado por um número real. Trata-se da propriedade do corte.

5 PROPRIEDADE DO CORTE Propriedade do Corte:
. PROPRIEDADE DO CORTE Propriedade do Corte: Se (A,B) é um corte em R, então existe só um número , tal que , e , A demonstração é simples e está exposta no conteúdo online da disciplina. Não há grandes dificuldades. Trata-se uma propriedade de extrema valia para uso em estudos de Análise.

6 CELAS Se , dizemos que os conjuntos ,
. CELAS Se , dizemos que os conjuntos , são raios abertos, definidos por a. são ditos raios fechados, definidos por a. Diz-se que o ponto a é a extremidade do raio. Se , dizemos que o conjunto é uma cela aberta definida por a e b e é denotada por (a,b).

7 . CELAS Se dizemos que o conjunto é uma cela fechada definida por a e b e denotada por [a,b]. Se , dizemos que os conjuntos e são chamados de celas semiabertas ou semifechadas definidas por a e b e denotadas por [a,b) e (a,b]. Dizemos que os pontos a e b são pontos extremos das celas.

8 . INTERVALOS A partir das definições de raios e celas, podemos definir os intervalos, importantes subconjuntos dos reais. Um intervalo em R é um raio, uma cela ou todo R. Portanto, temos 10 tipos de intervalos: , , , , , (a,b) , [a,b] , [a,b) , (a,b] e R. Uma correlação importante com a noção de módulo:

9 . INTERVALOS Dizemos também que o conjunto é a cela unitária ou intervalo unitário. Ainda, dizemos que uma sequência de intervalos é encaixante se as inclusões se verificam.

10 . INTERVALOS Exemplo 1: Considere a sequência de intervalos com . Observando novamente a figura, percebemos que a sequência de intervalos é encaixante.

11 . INTERVALOS Uma sequência de intervalos encaixantes não tem, necessariamente, um ponto em comum. A sequência do slide anterior é encaixante, porém não possui ponto em comum, isto é: Exemplo 2: Considere a sequência de intervalos , Conforme a figura, a sequência de intervalos é encaixante:

12 . INTERVALOS Percebemos no exemplo que há um interseção entre a sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é:

13 . INTERVALOS Percebemos no exemplo que há um interseção entre a sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é: