Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO 2016 Inferência Estatística Camilo Daleles Rennó

Inferência Estatística DISTRIBUIÇÃO CONHECIDA PARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S) Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X ? Quais os valores possíveis de X ? X: {0, 1, 2, 3} Qual a distribuição de probabilidade de X ? Binomial Quais os parâmetros que definem uma Binomial? n e p n = 3 p = ? 2

Inferência Estatística Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150? Quais os valores possíveis de X ? X: {0, 1,..., 255} (considerando uma imagem 8 bits) Qual a distribuição de probabilidade de X ? Desconhecida (discreta) Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição? ??????? DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA 3

Inferência Estatística S amostra inferir certas características da população distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos n elementos (ou objetos) da população ex: sortear n pixels de uma imagem (com ou sem reposição) n realizações da v.a. ex: medir a reflectância de um objeto n vezes  a amostra constitui um conjunto de n v.a. X 1, X 2,..., X n com mesma distribuição (desconhecida)  Amostra Aleatória 4

Estimação de Parâmetros População Amostra Distribuição de Probabilidade (ou FDP) Parâmetros Distribuição Amostral (Frequências) Estatísticas (valor fixo) estimar (variável aleatória) pontual (estatísticas) por intervalo (intervalos de confiança) Estimação OBS:estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimador estimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica 5

método dos momentos método da máxima verossimilhança Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. 6

Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? é o k -ésimo estimador de  Qual é o melhor estimador pontual? não tendencioso variância mínima Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. Exato Impreciso Inexato Preciso Tiro ao alvo Suponha que seja possível produzir k diferentes estimadores para , sendo 7 (exatidão) (precisão)

Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? dados agrupados Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média amostral 8

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? verificando a tendenciosidade de estimador não tendencioso 9

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? calculando a variância de 10 Se as amostras forem independentes, ou seja, se elas não guardarem nenhuma relação entre si.  2 +   2

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? 11 Quanto maior o tamanho da amostra ( n ), mais precisa será a estimativa de 

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? Mas será um estimador tendencioso? 12

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 13

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 14

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 15

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? estimador tendencioso! 16

Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? estimador não tendencioso (ver Estimadores.xls) variância amostral 17

Estimação Pontual de  e  2 média amostral Valor Freq. Absoluta Freq. Relativa 011/12 121/6 241/3 331/4 411/12 51 Total 121 Exemplo: uma amostra ( n = 12 ) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais. distribuição amostral (usando FA) (usando FR) (dados brutos) (dados agrupados) 18

(dados agrupados) Estimação Pontual de  e  2 variância amostral s 2 Exemplo: uma amostra ( n = 12 ) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais. Valor Freq. Absoluta Freq. Relativa 011/12 121/6 241/3 331/4 411/12 51 Total 121 distribuição amostral (dados brutos) 19

Estimação Pontual de  e  2 Observações:  e  2 são parâmetros que representam a população e portanto são valores fixos sendo, em geral, desconhecidos e s 2 são estatísticas calculadas a partir da amostra e representam variáveis aleatórias (cada conjunto de amostras pode apresentar um valor diferente) Não confunda variância amostral ( s 2 ) com variância da média amostral ( Var( ) ) 20 De modo geral, as amostras devem ser obtidas de modo independente uma das outras, ou seja, o valor de uma amostra não deve ter relação com o(s) valor(es) das outras amostras (exceção em estudos de séries temporais, onde estuda-se exatamente esta relação)

Utilização de amostras não independentes 21 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 área de sobreposição

Utilização de amostras não independentes 22 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X i : valor que representa a resposta do sensor no tempo T i (  elemento de resolução) Note que estes valores não são independentes (devido a sobreposição) Resolução Espacial  Tamanho do Pixel

Utilização de amostras não independentes 23 X X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 3,2

Utilização de amostras não independentes 24 X ,3 5,9 2,5 3,2 5,3 2,8 6 9,2 6,3 5,3 6,2 2,2 6,5 7,6 5,7 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 5

Utilização de amostras não independentes 25 X ,3 5,9 2,5 3,2 5,3 2,8 6 9,2 6,3 5,3 6,2 2,2 6,5 7,6 5,7 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 9

Utilização de amostras não independentes 26 X ,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64, ,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

Utilização de amostras não independentes 27 X ,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64, ,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

Utilização de amostras não independentes 28 X ,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64, ,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

s2s2 X5,536,84 Utilização de amostras não independentes 29 X ,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64, ,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer Conclusão: a utilização de amostras não independentes (autocorrelacionadas) afetam mais a estimação da variância do que a estimação da média s2s2 X5,536,84 5,53 s2s2 X 6,84 5,534,36 5,532,70 5,531,76