CURSO DE INSTABILIDADE ESTRUTURAL REVISÃO - Parte 2 PROPEC Deciv – EM – UFOP

SUMÁRIO 1. INSTABILIDADE ELÁSTICA DE COLUNAS 2. INSTABILIDADE ELÁSTICA DE PÓRTICOS

1. INSTABILIDADE ELÁSTICA DE COLUNAS Referências: Notas de aula do Prof. Paulo Batista Gonçalves Instabilidade Estrutural C.L. Dym & L.H. Shames Energy and Finite Element Method in Structural Mechanics H.G. Allen & P.S. Bulson Background to Buckling D.O. Brush & Bo O. Almroth Buckling of Bars, Plates and Shells A. Chajes Principles of Structural Stability Theory

1. Equação de Equilíbrio Crítico SUMÁRIO 1. Equação de Equilíbrio Crítico 1.1 Formulação direta 1.2 Formulação variacional 1.3 Solução da equação diferencial de equilíbrio 2. Efeito das Condições de Contorno 2.1 Extremidades elasticamente restritas à rotação 2.2 Extremidades elasticamente restritas à rotação e translação 2.3 Conclusões importantes 3. Efeito do Carregamento Excêntrico 4. Efeito das Imperfeições Geométricas 5. Aplicações de Métodos Numéricos 6. Teoria Exata de Colunas

1. Equação de Equilíbrio Crítico 1.1 Formulação Direta Convenção de sinais: Configuração ligeiramente deformada: Observações: Teoria de vigas: Condições de contorno : Equação de equilíbrio :

1.2 Formulação Variacional Energia Potencial Total do sistema: Equação de Equilíbrio ((1) = 0): 1. Equação diferencial ordinária 2. Coeficientes constantes 3. Quarta ordem 4. Homogênea Condições de contorno:

1.3 Solução da Equação Diferencial de Equilíbrio Equação de Equilíbrio: 1. Equação diferencial ordinária 2. Coeficientes constantes 3. Quarta ordem 4. Homogênea Solução Geral: Análise de casos particulares: 1. Coluna bi-apoiada 2. Coluna engastada-apoiada

2. Efeito das Condições de Contorno 2.1 Extremidades Elasticamente Restritas à Rotação Energia Potencial Total do sistema: Energia interna de deformação das molas

Condição de Estacionaridade de P: que fornece: 1. Equação de Equilíbrio: 2. Condições de contorno:

Solução da Equação de Equilíbrio: Solução Geral: Procurando satisfazer as condições de contorno: Definindo:

Análise: Casos Particulares a. Caso 1: l1 = l2 = l b. Caso 2: l1  l2 Na forma matricial : A C = 0 Soluções possíveis: 1. Trivial: C = 0 2. Não-trivial: det(A) = 0 ou seja: Análise: Casos Particulares a. Caso 1: l1 = l2 = l b. Caso 2: l1  l2 a. Caso 1: l1 = l2 = l b. Caso 2: l1  l2 Obs. l1 = 0 e l2 =  (coluna engastada-apoiada)

2.2 Extremidades Elasticamente Restritas à Rotação e Translação Energia interna de deformação das molas

2.3 Conclusões Importantes CARGA CRÍTICA para colunas com diferentes condições de contorno: Ref.: H.G. Allen & P.S. Bulson Background to Buckling, pg 100 (1) Em que a é um coeficiente que é função das condições de contorno

Observe que (1) pode ser rescrita como: (2) 2.3 Conclusões Importantes Observe que (1) pode ser rescrita como: (2) sendo definido como o COMPRIMENTO EFETIVO da coluna Hipóteses consideradas: 1. Material elástico linear 2. Ao flambar, a seção transversal gira em torno do eixo de inércia mínima: I = Imín Para uso prático, escreve-se: (3) onde: A = área da seção transversal da coluna r = raio de giração mínimo, que por definição é:

TENSÃO CRÍTICA MÉDIA para colunas com diferentes 2.3 Conclusões Importantes TENSÃO CRÍTICA MÉDIA para colunas com diferentes condições de contorno: (4) onde é definido como o ÍNDICE DE ESBELTEZ da coluna

2.3 Conclusões Importantes CONSIDERAÇÕES FINAIS 1. Pode-se concluir que o limite de proporcionalidade (tensão de escoamento) do material é o limite superior da tensão na qual a coluna perde a estabilidade elasticamente

2. Tensão Crítica: varia hiperbolicamente com o ÍNDICE DE ESBELTEZ 3. A medida que a relação L0/r (= l) decresce, a tenção crítica cresce, e, para um valor limite de L0/r, a tensão atinge sy 4. Para valores menores que esse valor limite de L0/r, a tensão crítica é maior que sy e a coluna passa a sofrer colapso não por perda de estabilidade, mas por plastificação

3. Efeito do Carregamento Excêntrico Ref.: H.G. Allen & P.S. Bulson

4. Efeito das Imperfeições Geométricas Energia Potencial Total do sistema: Observação: Momento resistente: M = EI (K - K0) sendo:

Condição de Estacionaridade de P: 1. Equação de Equilíbrio: 2. Condições de contorno:

Solução Geral: w = wh + wp onde: Obtenção da Solução Particular wp: Imperfeição Inicial: Método dos Coeficientes a Determinar: Tem-se que: ou seja: Assim: Finalmente:

1. Trivial: C = 0 (possível !!!) 2. Não-trivial: det(A) = 0 Procurando satisfazer as condições de contorno: Soluções possíveis: 1. Trivial: C = 0 (possível !!!) 2. Não-trivial: det(A) = 0 Portanto:

5. Aplicações de Métodos Numéricos Método das Diferenças Finitas Trabalho: Análise numérica da estabilidade de colunas esbeltas Autores: Alexandre G. Lages e Ricardo A.M. Silveira Projeto: PIBIC/CNPq/UFOP Método de Ritz Trabalho: A modal nonlinear solution for structural elements under contact constraints imposed by elastic foundations Autores: Ricardo A.M. Silveira e Paulo B. Gonçalves Projeto: CNPq Método dos Elementos Finitos Trabalhos: Galvão (2000), Rocha (2000), Pinheiro (2003), Machado (2005), Alvarenga (2005), Rocha (2006), Santos (2007), Silva (2009), Pires (2012), Maciel (2012), Gonçalves (2013), Lemes (2015), Silva (2016), Barros (2016)

6. Teoria Exata de Colunas Energia Potencial Total do sistema: CORREÇÕES: Assim:

Condição de Estacionaridade de P: 1. Equação de Equilíbrio: Equação diferencial de equilíbrio não linear; solução através das INTEGRAIS ELÍPTICAS 2. Condições de contorno:

2. INSTABILIDADE ELÁSTICA DE PÓRTICOS Referências: Notas de aula do Prof. Paulo Batista Gonçalves Instabilidade Estrutural H.G. Allen & P.S. Bulson Stability of Structures Bazant & Cedolin Background to Buckling D.O. Brush & Bo O. Almroth Buckling of Bars, Plates and Shells Artigos e Dissertações

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO 2. PÓRTICOS SIMÉTRICOS 2.1 Modo Simétrico 2.2 Modo Não-simétrico 3. PÓRTICOS NÃO-SIMÉTRICOS 3.1 Pórticos em L

1. INTRODUÇÃO Até o momento: ESTUDO DE COLUNAS ELÁSTICAS COM COM CONDIÇÕES DE CONTORNO IDEAIS Problemas reais de engenharia: 1. As colunas não ocorrem de forma isolada 2. As condição de contorno não são bem definidas 3. Extremidades conectadas a outros membros das estrutura PÓRTICO: 1. A flambagem de uma barra não pode ocorrer sem que haja deformação de todos os outros membros da estrutura 2. Para se fazer o estudo da estabilidade de uma barra deve-se investigar o comportamento de toda a estrutura

2. PÓRTICOS SIMÉTRICOS Casos a considerar: 1. Pórticos cujo movimento lateral está impedido por algum tipo de contraventamento (modo simétrico) 2. Pórticos cujos nós superiores são livres para se mover horizontalmente (modo não-simétrico) A estabilidade do pórtico depende não apenas da rigidez das duas colunas, mas também da rigidez da viga que, neste caso, funciona como um apoio elástico

2.1 Modo Simétrico Pórticos cujo movimento lateral está impedido por algum tipo de contraventamento Casos Limites:

Caso Intermediário: Análise:

Assim: 1. Equação de Equilíbrio: 2. Condições de contorno: Solução Geral: Procurando satisfazer as condições de contorno: A C = 0 Soluções possíveis: 1. Trivial: C = 0 2. Não-trivial: det(A) = 0  Caso Particular: barras iguais  f = 1: Menor raiz:

2.2 Modo Não-Simétrico Pórticos cujos nós superiores são livres para se mover horizontalmente Casos Limites:

Caso Intermediário: Análise:

Assim: 1. Equação de Equilíbrio: 2. Condições de contorno: Solução Geral: Procurando satisfazer as condições de contorno: A C = 0 Soluções possíveis: 1. Trivial: C = 0 2. Não-trivial: det(A) = 0  Caso Particular: barras iguais  f = 1: Menor raiz:

3. PÓRTICOS NÃO-SIMÉTRICOS EXEMPLOS Caso Particular: Pórticos em L

SOLUÇÃO NÃO LINEAR 3.1 Pórtico em L: Pórtico de Roorda Satisfazendo as condições de contorno: 1. Bifurcação Assimétrica 2. Sensibilidade a imperfeições SOLUÇÃO NÃO LINEAR