Números Naturais Os Números e Seus Significados Prof. Murilo Ramos

Números Naturais Você já parou para pensar como surgiram os números? Será que os números surgiram da invenção de um matemático? Contar Objetos IN = { } , 1 ... , 2 3 4 5 6 Sem o Zero (0) IN * = { } 1 2 3 4 5 6 ... ,

É um sistema que representa números de uma forma Sistemas de Numeração É um sistema que representa números de uma forma consistente, de tal forma que cada número tenha uma única representação. Os números, assim como as palavras, sofreram mudanças com o tempo. representam os mesmos números, apenas em idiomas e épocas distintas. quinze XV 15 fifteen

Sistema Decimal de Numeração Sistemas de Numeração Sistema Decimal de Numeração Esse é o nosso Sistema de Numeração. Os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. Para escrever qualquer número nesse Sistema de Numeração, utilizamos os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 10 unidades formam 1 dezena 10 dezenas formam 1 centena

Sistema Decimal de Numeração Sistemas de Numeração Sistema Decimal de Numeração Recordando... ... 3ª Classe 2ª Classe 1ª Classe Milhão Milhar Unidades Bilhão Trilhão ... Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade

(ENEM) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.  De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. b) dezena de milhar. c) centena de milhar. d) milhão. e) centena de milhão. C

I X C antes de antes de antes de Sistema de Numeração Romano V X Sistemas de Numeração Sistema de Numeração Romano V X I antes de Utiliza 7 letras (símbolos) que representam os seguintes números: I → 1 L C X antes de V → 5 X → 10 L → 50 C → 100 D M C antes de D → 500 M → 1000

A (ENEM) O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por 1000. Por exemplo, o número X representa o número 10 × 1000, ou seja, 10000. De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são, respectivamente, iguais a: A) 1205000 e 43000 D) 1250000 e 43000 B) 1205000 e 63000 E) 1250000 e 63000 C) 1205000 e 493000 A

C (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantida- des e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2453. Para representar o “zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. b) 463. c) 3.064. d) 3.640. e) 4.603. C

(ENEM) Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:   Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. 

Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 200 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 201 = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal.  

D hieróglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico: Um arqueólogo achou o hieróglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico:  O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 representa é igual a a) 279. b) 539. c) 2619. d) 5219. e) 7613. D

não deixa resto (resto 0) Números Naturais NOS Pares 2 4 6 8 10 ... , Se ao dividir por 2, não deixa resto (resto 0) 1 3 5 7 9 11 ... , NOS Ímpares Se ao dividir por 2, deixa resto 1

Tem exatamente 2 divisores positivos (distintos) : Números Naturais NOS Primos Tem exatamente 2 divisores positivos (distintos) : o “1” e ele mesmo. DESAFIO: Quais são os 15 primeiros números primos? Será que o 2 é primo? Será que o 15 é primo? Será que o 1 é primo? Primos = { __, __, __, __, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ...}

Tem mais de 2 divisores positivos Teorema Fundamental da Aritmética Números Naturais NOS Compostos Tem mais de 2 divisores positivos Teorema Fundamental da Aritmética Exemplos: 108 = 1440 =

Decomposição em Fatores Primos Números Naturais Decomposição em Fatores Primos 450 = 324 = 1250 =

B . (COVEST) Para escaparem de uma penitenciária, 10 prisioneiros decidem cavar um túnel de 450m de comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um túnel de 270m, trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas noites o túnel ficará pronto? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 B

E . (UPE) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias d) 36 dias e) 64 dias E

B . (UPE) Em um plantão de 4 horas, 5 médicos atendem 40 pacientes. Supondo que os médicos gastam o mesmo tempo para atender um paciente e que o plantão passou a ser de 6 horas, o número de médicos necessários para atender 60 pacientes é igual a: a) 7. b) 5. c) 6. d) 8. e) 4.   B

Um número é divisível por outro, se o resto da divisão for zero. Números Naturais Divisores de um Nº Natural Um número é divisível por outro, se o resto da divisão for zero. Por exemplo, 24 é divisível por 6, porque o resto da divisão é zero. Já o mesmo 24 não é divisível por 9, porque deixa resto 6.

Divisores de um Nº Natural Números Naturais Divisores de um Nº Natural Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12 (a divisão de 12 por esses números não deixam restos). Representamos o conjunto dos divisores de 12 por D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Divisores de um Nº Natural Números Naturais Divisores de um Nº Natural Como encontrar os divisores de um número? Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144?

MDC Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144? Números Naturais MDC O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores comuns dos números dados. Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144?

Múltiplos de um Nº Natural Números Naturais Múltiplos de um Nº Natural Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Representamos por M(X) o conjunto dos múltiplos de X. Vejamos um exemplo: os múltiplos de 7 são 0 (0∙7), 7 (1∙7), 14(2∙7), 21 (3∙7), 28 (4∙7), 35 (5∙7) e assim por diante. Isto é, M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42,...}.

⇒ M(5) = { , , , , , , ....} Múltiplos de um Nº Natural Números Naturais Múltiplos de um Nº Natural Como encontrar os múltiplos de um número? Quais são os múltiplos de 5? ⇒ M(5) = { , , , , , , ....} Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam em que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ___ ou em ___.

Múltiplos de um Nº Natural Números Naturais Múltiplos de um Nº Natural E os múltiplos de 2: O que eles tem em particular? São números __________. E os múltiplos de 3: O que acontece com a soma dos dígitos? Conclusão: Um número é múltiplo de 3 se a soma dos dígitos ____________ _________________________.

Múltiplos de um Nº Natural Números Naturais Múltiplos de um Nº Natural E quando um número é múltiplo de 10? Quando termina em ____. Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __. Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que: Ser múltiplo de __ (ou seja, ser _____) e ser múltiplo de ___ (ou seja, a soma do dígitos __________________).

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Números Naturais Esses detalhes que conhecemos acima, nos permite descobrir de quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos isso de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

c (COVEST) Indique a alternativa falsa. Um número natural é divisível por: a) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. b) 3 se a soma dos dígitos é divisível por 3. c) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por 5. d) 6 se é divisível por 2 e por 3. e) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9. c

Múltiplos de um Nº Natural Números Naturais Múltiplos de um Nº Natural Basta multiplicar o número por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Quais são os múltiplos de 6? Quais são os múltiplos de 10?

Quais são os múltiplos de 6? Quais são os múltiplos de 10? Números Naturais MMC O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo (maior que zero) comum aos números. Quais são os múltiplos de 6? Quais são os múltiplos de 10?

A . (FUVEST–SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30   A

. (PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmi- tida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”  Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue.  

D . Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: a) 25 b) 29 c) 37 d) 41 e) 45 D

(COVEST) Qual o maior inteiro n para que 3n divida o produto 20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17 ∙ 16 ∙ 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1? a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20 C

(ENEM) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: ▪ multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. ▪ soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. ▪ somam-se os resultados obtidos. ▪ calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador.

E ▪ multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúl- timo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. ▪ soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. ▪ somam-se os resultados obtidos. ▪ calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é a) 1. d) 6. b) 2. e) 8. c) 4. E

Você seria capaz de descobrir as idades dos três filhos da senhora? Desafio 01 Ao encontrar uma velha amiga (A), durante uma viagem de trem, um matemático (M) tem a seguinte conversa: (M) - Como vão os três filhos da senhora? (A) - Vão bem, obrigada! (M) - Qual a idade deles mesmo? (A) - Vou lhe dar uma dica. O produto das idades é 36. (M) - Só com essa dica é impossível! (A) - A soma das idades deles é igual ao número de janelas desde vagão. (M) - Ainda não sei. (A) - O mais velho toca piano! (M) - Agora eu sei! Você seria capaz de descobrir as idades dos três filhos da senhora?