ESTRUTURAS ALGÉBRICAS AS ESTRUTURAS PARTE 2

IV – MONÓIDE COMUTATIVO Definido pelo par (A, ) onde a operação , definida em A, é: associativa, (b) tem elemento neutro, (c) não admite inverso e (d) é comutativa. Exemplo: conjunto N e a operação adição. V – GRUPO Formado pelo par (A, ) onde a operação , definida no conjunto A, (a) é associativa, (b) tem elemento neutro, e (c) todo elemento de A é inversível. Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação. VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO É um grupo onde a operação ,além das propriedades características e um grupo, é comutativa. Exemplo: conjunto Z e a operação adição.

A, N, I, C A a  (b  c) = (a  b)  (a  c) VII – ANEL Consiste no sistema (A, , ), onde: - A é o conjunto -  e  são as operações A, N, I, C O conjunto (A, ) constitui um grupo abeliano. O conjunto (A, ) é um grupóide. A A operação  deve ser distributiva em relação à operação . a  (b  c) = (a  b)  (a  c) Se a operação  for comutativa, a estrutura denomina-se ANEL COMUTATIVO. Será um ANEL COM IDENTIDADE ou ANEL UNITÁRIO quando  apresentar elemento neutro. Exemplo:  O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.

VIII – CORPO É o mesmo trio que constitui um anel, isto é (C, , ). No corpo, as duas operações devem ser grupos abelianos. A, N, I, C Convém ficar claro que, o elemento neutro da primeira operação não tem inverso para a segunda operação. Deve também ser observada a distributividade de  em relação a . Exemplo: Conjunto Q com as operações adição e multiplicação. O neutro da adição (zero) não tem inverso para a multiplicação.

IX – ESPAÇO VETORIAL Nesta estrutura temos dois conjuntos. Um dos conjunto, cujos elementos são chamados de OPERADORES, deve apresentar uma estrutura de CORPO. O outro conjunto deve apresentar uma estrutura (mínima) de MONÓIDE, podendo apresentar inversibilidade apenas à esquerda ou à direita. Seus elementos são chamados de VETORES. Uma operação externa liga os dois conjuntos. Nesta operação, o resultado será um elemento do segundo conjunto. Sejam: A = {a, b, c} - conjunto dos operadores B = {, , } - conjunto dos vetores.  e  - operações no corpo A.  - operação no conjunto B, dos vetores  - operação externa.

O quadro abaixo apresenta um esquema da estrutura ESPAÇO VETORIAL. operadores A   A, N, I, C a, b, c a  (b  c) = (a  b)  (a  c) (distributiva) A, N, I, C a    B.  - operação externa B vetores , ,  A, N, inverso à esquerda ou à direita – no mínimo.  Propriedades a serem observadas: (1) a  (b  ) = (a  b)   (associatividade) (2) a  (  ) = (a  )  (a  ) (distributividade) (3) (a  b)   = (a  )  (b  ) (distributividade).

Distributividade da operação 2 em relação à operação 1 4 5 2ª OPERAÇÃO Estrutura Operação 1 A N I C 1 Grupóide não 2 Semigrupo sim 3 monóide Distributividade da operação 2 em relação à operação 1 4 Mon.comut 5 Grupo 2ª OPERAÇÃO 6 Grupo abel. 7 Anel Sim 8 Anel. Com. 9 Anel comut. c/ident 10 Corpo