G R U P O S - II

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA Sejam x1, x2, ... , xn elementos do grupo (G, *). define-se o resultado de x1*x2*x3*... *xn, por x1*x2*x3 = (x1*x2)*x3 x1*x2*x3*x4 = (x1*x2*x3)*x4 = ((x1*x2)*x3)*x4 ... x1*x2*x3* ...*xn = (x1*x2*x3*...*xn-1)*xn = ((x1*x2)*x3)*...*xn-1)*xn A propriedade associativa, também válida em um semi-grupo, independe da forma com que são associados os elementos. Isto é: (x1...xr)(xr+1... xn) = (x1...xs)(xs+1...xn),  (r, s), 1 < r < s < n. EXEMPLO: Seja * definida por a * b = a + b + ab. Calcular (2 * 3 * 5) 2 * 3 * 5 = (2 * 3) * 5 = (2 + 3 + 2.3) * 5 = 11 * 5 = 11 + 5 + 11.5 = 71 Ou: 2 * (3 * 5) = 2 * (3 + 5) = 2 * (3 + 5 + 3.5) = 2 * 23 = 2 + 23 + 2.23 = 71.

POTÊNCIAS EM UM GRUPO Definição 1: Seja (G, *) um grupo. Define-se, para n  N, a potência de x, por xn = x*x*... *x (onde x figura n vezes). No grupo multiplicativo: xn = x.x.x... No grupo aditivo xn = x + x + x... Exemplo: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcular 25. 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = (2 * 2) * 2 * (2 * 2) A operação é associativa. 2 * 2 = 2 + 2 + 2.2 = 8 (2 * 2) * 2 * (2 * 2) = 8 * 2 * 8 = (8 + 2 + 8.2) * 8 = 26 * 8 = 26 + 8 + 26.8 = 242

Em um grupo,  n, m  N, tem-se: (3) Xa = x b (ab) (1) xaxb = xa+b  (2) (xa)b = xab  (4) x0 = n (n é o elemento neutro da operação). (5) x-a = (x-1)a (x-1 é o inverso de x). Definição 2:  seja a um elemento de um grupo. Se ax = a, então o elemento a é dito elemento idempotente. Em um grupo infinito, o único elemento idempotente é o elemento neutro. EXERCÍCIO: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: (a) O elemento neutro de *. (b) 3-1 (c) 4-1 (d) x-1 (e) 5-3

EXERCÍCIOS (1) Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas: Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabelece no conjunto G uma estrutura de grupo. (2) Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas na tabela. Resolva cada uma das equações em relação a x. x  b = c. (b)  x2  a = b  x  c-1. (c)  x2 = a2 (d) x5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação Å. (e)  (x  a  x)3 = b  x (f) x2  a = (x  a)-1. (g)  x2  b = x  a-1  c.

CONJUGADO COMUTADOR EXERCÍCIOS: Seja G um grupo Conjugado de x por y, que se denota por [x]y,  é o elemento de G tal que [x]y = y-1xy. COMUTADOR Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que [x, y] = xyx-1y-1. EXERCÍCIOS: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: (a) o conjugado de 3 por 5. (b) O comutador de 3 e 5.