Funções de Várias Variáveis Professor Dani Prestini

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável independente. Exemplos: A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles n, da pressão P e da  constante universal dos gases perfeitos R.

Definições Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas variáveis independentes x e y, definidas no domínio D. Designa-se essa função como

Domínio: Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida. Exemplo: Para cada uma das seguintes funções, calcule f(3,2), encontre o domínio e esboce sua região. Graficamente, teríamos: a região R² do domínio.

Pela definição ln é um conjunto dos números reais positivos. Graficamente, teríamos: a região R² do domínio. Pela definição ln é um conjunto dos números reais positivos.

Exemplo: Calcule f(2,1,4) e encontre o domínio de cada função.

b) Temos duas condições para analisar

Representação Gráfica de Funções de duas Variáveis Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R³ tal que z =f (x, y) e (x, y) pertença a D.

Exemplos Gráfico de funções de 2 variáveis: Ex.1– A função é z = f(x,y) = 5 A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5

Esboce o gráfico da função f(x, y) = 6 –3x –2y. O gráfico de f tem a equação z =6 –3x –2y ou 3x +2y +z =6 ƒQue representa um plano. Para desenhar o plano, primeiro achamos as intersecções com os eixos Fazendo x = z =0 na equação, obtemos: 3.0+2y+0=6 2y=6 y=3 Fazendo x = y =0 na equação, obtemos: 3.0+2.0+z=6 z=6 Fazendo y = z =0 na equação, obtemos: 3.x+2.0+0=6 x=2

Isso nos ajuda a esboçar a parte do gráfico que se encontra no primeiro octante.

Esboce o gráfico da função Determinar o domínio da função: O gráfico do domínio tem a equação: Substituindo valores para x, temos:

Gráfico do domínio da função O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 3. 3 3 -3 -3

Esboçando o gráfico da função ƒO gráfico tem a equação Elevando ao quadrado ambos os lados da equação obtemos:

Uma esfera inteira não pode ser representada por uma única função de x e y. * O hemisfério superior da esfera x²+y²+z²=9 é representado pela função * ƒO hemisfério inferior é representado pela função Mas, como z ≥ 0, o gráfico de g(x,y) é somente a metade superior da esfera.

CURVAS DE NÍVEL Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x,y) representa uma superfície no espaço. A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é chamada curva de nível. Os mapas de contorno se a função z=f(x,y) for cortada pelo plano horizontal z=k, então todos os pontos de intersecção tem f(x,y)=k. A projeção dessa intersecção sobre o plano xy é chamada de curva de nível de altura k. As curvas de nível são usadas em mapas para dar informação sobre a topografia (relevo) da região.

Exemplo: Esboce o gráfico das curvas de nível da função para os valores de k = 0, 1, 2 e 3. As curvas de nível dessa função são dadas por:

Essa é uma família de circunferências concêntricas com centro em (0, 0) e raio Os casos k =0, 1, 2, 3 são mostrados a seguir: Então, compare com o gráfico de g (um hemisfério), como na figura.

Exemplos de Curvas de Níveis Através da figura podemos ver a relação entre as curvas de nível e os cortes horizontais. As curvas de nível f(x, y) = k são apenas cortes do gráfico de f no plano horizontal z =k projetados sobre o plano xy.

f(x, y) = 4x² + y²

Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas.

Aqui as curvas de nível são chamadas curvas Isotérmicas Aqui as curvas de nível são chamadas curvas Isotérmicas.ƒ Elas ligam localidades que têm a mesma temperatura. A figura mostra um mapa de clima indicando as temperaturas médias do mês de janeiro.

DERIVADA PARCIAL Definição Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada por (x0,y0), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto (x0,y0), mantendo-se y constante, Analogamente, em relação a y aplicada no ponto (x0,y0) temos, (x0,y0) mantendo-se x constante.

Notação A notação indica a derivada f(x,y) em relação a x, onde y é olhado como constante (independente de x). Já a notação indica a derivada de f(x,y) em relação a y, onde x é olhado como constante. Exemplo: 1) Calcule a derivadas parciais da função f(x,y)=yx3 + xy2.

Exemplo: 2) Calcule as derivadas parciais da função no ponto (1,2).

Interpretação geométrica DERIVADA PARCIAL Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já uma das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a derivada da outra. Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = 2x3.e5y. Temos que:

Funções de várias variáveis Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: E a segunda derivada, em relação a y é:

Funções de várias variáveis Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x: E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras ; As duas últimas são chamadas de mistas.

Funções de várias variáveis Notação Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas. Proposição Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança, então .

Funções de várias variáveis Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis. Suponha que a função P=p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).

Funções de várias variáveis A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão: P = p(x(t) , y(t)) = P(t) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

Funções de várias variáveis Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis. Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes derivadas parciais: .

Funções de várias variáveis Exemplo

Funções de várias variáveis Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

Funções de várias variáveis Aplicação A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2. Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1,2) e na direção de OU; Partindo-se do ponto (-1,2) e deslocando-se na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?

Funções de várias variáveis Solução

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