Números racionais 2,34

NÚMEROS FRACCIONÁRIOS A Sara quis fazer um painel que representasse as quatro estações do ano. Começou por dividi-lo em duas partes geometricamente iguais. Cada uma destas partes do painel é uma metade do painel. dividido E representa-se por:

A seguir, a Sara dividiu, por sua vez, cada uma das metades do painel também em duas partes geometricamente iguais. Obteve o painel dividido em quatro partes geometricamente iguais.

FRACÇÃO Cada uma destas partes é a quarta parte do painel. Ou … Cada uma destas partes é um quarto do painel. E representa-se por . Os números representados por e são números fraccionários e a esta representação dá-se o nome de … FRACÇÃO

A parte do painel que representa o Inverno e o Verão corresponde a metade do painel e é, por isso, representada por: 1 : 2 ou É o quociente exacto da divisão de 1 por 2. Como, 1 : 2 = 0,5 logo … = 0,5 0,5 é, também, o quociente exacto da divisão de 1 por 2.

ou (fracção) 0,5 (numeral decimal) Assim, o número fraccionário um meio pode representar-se por: (fracção) ou 0,5 (numeral decimal)

ou Pensemos no número fraccionário um quarto. = 1 : 4 e 1 : 4 = 0,25 Logo, Portanto, este número, um quarto, pode representar-se por: (fracção) ou 0,25 (numeral decimal)

É um número fraccionário A esta representação dá-se o nome de fracção. Traço de fracção Numerador Termos da fracção Denominador

Numerador Termos da fracção Denominador 1 é o numerador, representa o número de partes que se consideram. 2 é o denominador, representa o número de partes geometricamente iguais em que se considera dividida a unidade.

Leitura de fracções Lê-se um meio Lê-se dois sétimos Lê-se sete oitavos Lê-se um terço Lê-se três quartos Lê-se vinte e um nonos Lê-se doze quintos Lê-se três décimas Lê-se cinco sextos Lê-se quatro onze avos

Observa a figura que vai ser dividida em três partes geometricamente iguais. A parte pintada de vermelho corresponde a …

= 1 : 3 1 : 3 = 0, 3333… O quociente que vai aparecendo em cada momento 0,3 ; 0,33 ; 0, 333 ; 0,3333 e assim sucessivamente É uma aproximação, por defeito, do quociente da divisão de 1 por 3.

Como 0, 3333… não é um quociente exacto, não podemos representar o número um terço por um numeral decimal. Por isso, representamo-lo por: Estes novos números, os NÚMEROS FRACCIONÁRIOS, vieram tornar sempre possível a operação divisão.

Representa um número menor, igual ou maior do que a unidade (1)? < 1 Porque o numerador é menor do que o denominador. A esta fracção dá-se o nome de fracção própria.

Fracções que representam números inteiros Observa os três rectângulos geometricamente iguais, divididos em partes geometricamente iguais. Que fracção representa a parte pintada de amarelo? = 1 = 1 = 1

Cada uma das fracções: Representam a unidade (1). 8 : 8 = 1 2 : 2 = 1 4 : 4 = 1 O numerador e o denominador de cada uma delas são representados pelo mesmo número.

Observa a figura. Que fracção representa a parte da figura pintada a amarelo? Representa um número menor, igual ou maior do que a unidade (1)? > 1 Porque o numerador é maior do que o denominador. A esta fracção dá-se o nome de fracção imprópria.

Observa as figuras representadas. Diz que fracção representa a parte pintada, sabendo que cada uma delas está dividida em partes geometricamente iguais.

Estas fracções representam números inteiros. = 1 És capaz de definir uma regra que permita verificar se uma fracção representa um número inteiro? = 2 = 3 Uma fracção representa um número inteiro se o numerador for múltiplo do denominador. = 4

Observa as figuras representadas. Diz que fracção representa a parte pintada, sabendo que cada uma delas está dividida em partes geometricamente iguais.

Será que estas fracções representam números inteiros? Não! Representam números … FRACCIONÁRIOS. Porque … Nestas fracções o numerador NÃO É múltiplo do denominador.

O que é então um número racional? Qualquer número que se possa representar por uma fracção ou por uma razão é um número racional. NOTA: Razão é o mesmo que quociente. Assim, qualquer número inteiro ou fraccionário é um número racional.

Observa a recta numérica. Coloca na recta os seguintes números racionais.

Agora já podemos preencher a tabela de dupla entrada da divisão utilizando números inteiros.

: 1 2 3 4 5 - - 1 - 2 1 - 3 1 - 4 2 1 - 5 1

Fracções equivalentes A mãe da Sara fez duas deliciosas tortas de chocolate (que são iguais). À sobremesa, dividiu uma delas em quatro fatias iguais e a outra em oito, tal como mostra a figura. Torta A A Sara comeu uma fatia da torta A e o pai comeu duas fatias da torta B. Torta B Qual dos dois comeu maior porção de torta?

Torta A Torta B Que fracção da torta A comeu a Sara? Que fracção da torta B comeu o pai da Sara?

= Então qual dos dois comeu maior quantidade? Comeram a mesma quantidade. Vamos ver se é verdade... Podemos concluir que: Torta A = Torta B

= Estas fracções representam a mesma porção… Dizem-se, por isso, fracções equivalentes. As fracções que representam o mesmo número chamam-se fracções equivalentes.

Princípio de equivalência de fracções Vamos observar as figuras: Que fracção representa a parte pintada, de cada uma das figuras? Podemos concluir que: = =

Princípio de equivalência de fracções: Repara que … × 2 × 2 : 2 : 2 = = = = × 2 × 2 : 2 : 2 Princípio de equivalência de fracções: Se multiplicarmos ou dividirmos os dois termos de uma fracção pelo mesmo número, diferente de zero, obteremos uma fracção equivalente à fracção dada.

Simplificação de fracções : 2 : 2 = = É uma fracção irredutível. : 2 : 2 Princípio de equivalência de fracções Utilizando o Podemos obter uma fracção equivalente a , mas de termos menores. Dizemos, por isso, que simplificámos a fracção .

Simplificação de fracções : 2 : 2 : 7 = = = É uma fracção irredutível. : 2 : 2 : 7 : 28 Ou… = Porque: : 28

ou m.d.c.(28,56) = 28 : 28 : 28 Porque: D28 = { , 28 } 1, 2, 4, 7 ,14 ,56} 1, 2, 4, 7, ,14 , 28 8 : 28 O máximo divisor comum entre 28 e 56 é o maior número que é divisor comum destes números. m.d.c.(28,56) = 28 ou

: 28 Porque: 28 2 56 2 14 2 28 2 = 7 7 14 2 1 7 7 : 28 1 2 3 28 = 2 × 7 56 = 2 × 7 O máximo divisor comum entre 28 e 56, decompostos em factores primos é igual ao produto dos factores primos comuns de menor expoente. 2 m.d.c.(28,56) = 2 × 7 = 28

Comparação e ordenação de números racionais Fracções com o mesmo denominador A Sara e a Joana estão a comer dois chocolates. Sara Joana A Sara já comeu A Joana já comeu Qual é a mais gulosa? É a Sara, porque > De duas ou mais fracções com o mesmo denominador, representa o maior número a que tiver maior numerador.

Comparação e ordenação de números racionais Fracções com o mesmo numerador A Sara e a Joana construíram 2 círculos em cartolina geometricamente iguais. Joana Sara A Joana pintou de amarelo do círculo. A Sara pintou de azul do círculo. Qual das duas amigas pintou mais? Foi a Sara, porque > De duas ou mais fracções com o mesmo numerador, representa o maior número a que tiver menor denominador.

Comparação e ordenação de números racionais Fracções denominador e numerador diferentes A Sara e o João comeram o que falta dos dois chocolates. Sara João Qual dos dois amigos comeu maior quantidade de chocolate? A Sara comeu do chocolate. O João comeu do chocolate.

Logo < porque < m.m.c.(8,3) = 24 M8: 0, 8, 16, 24, 32, … A Sara comeu do chocolate e o João comeu do chocolate. M8: 0, 8, 16, 24, 32, … M3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … (3) (8) Então, vamos escrever fracções equivalentes a e com denominador 24. m.m.c.(8,3) = 24 Logo < Então quem comeu mais chocolate? Foi o João! porque <

Fracções decimais As fracções cujo denominador é uma potência de 10 são fracções decimais.

Fracções decimais = 0,4 0,07 = = 0,003

Adição e subtracção de números racionais Observa as figuras: + =

Adição e subtracção de números racionais Observa as figuras: - =

Adição e subtracção de números racionais + = - = Para adicionar ou subtrair dois números representados por fracções com o mesmo denominador, adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e o denominador mantém-se.

Adição e subtracção de números racionais m.m.c.(6,4) = 12 + = M6: 0, 6, 12, 18, 24, … (2) (3) M4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, … + = = Então, vamos escrever fracções equivalentes a e com denominador 12. =

Multiplicação de números racionais A Maria comeu metade de um chocolate. O Paulo comeu a quarta parte de um chocolate igual ao da Maria . Logo o Paulo comeu metade de metade do chocolate que a Maria comeu . Ou seja, o Paulo comeu de

de É o mesmo que Como se multiplicaram estes dois números? Multiplicámos os numeradores e multiplicámos os denominadores. Então: Para multiplicar dois números representados por fracções, multiplicam-se os numeradores um pelo outro e multiplicam-se os denominadores, também, um pelo outro.

Vamos exemplificar: Fracção irredutível Fracção irredutível

Continuando a exemplificar… Generalizando…

Potência de um número racional É a base É o expoente 3

Inverso de um número racional Dado um número racional diferente de zero, é sempre possível encontrar outro número que multiplicado pelo primeiro dê de produto a unidade (1). O inverso de 8 é e vice-versa. O inverso de é e vice-versa. Generalizando…

Divisão de números racionais A operação divisão é a operação inversa da multiplicação. Exemplo: 56 : 8 = 7 8 × 7 = 56 Então … É o inverso de

Para dividir dois números racionais, diferentes de zero, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor Generalizando…