Jogos Repetidos

Jogos Repetidos Finitamente Em um jogo repetido um número finito de vezes, onde os payoffs dos jogadores são a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo é repetido, na última rodada será jogado um EN do jogo não repetido em questão, ainda que exista uma combinação de estratégias que dê payoffs maiores para todos os jogadores mas que não seja EN. Esta seria atingível apenas via cooperação, mas essa não existirá na última vez em que o jogo é repetido.

Jogos Repetidos Finitamente Definindo um jogo repetido T vezes como J(T), sendo J o jogo simultâneo de informação completa que é repetido e tendo que, quando se reinicia um estágio de J(T), todos sabem quais são os resultados dos estágios anteriores; e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs obtidos nos T estágios de J(T), se cada um dos estágios (J) de J(T) possui um EN único, J(T) possui um único ENPS, qual seja, o EN de J em todo estágio de J(T). Se o jogo J é dinâmico (mas também com informação completa) e possui um único ENPS, o ENPS do jogo repetido, J(T), será também o ENPS de J em cada estágio.

Jogos Repetidos Finitamente Em suma, se um jogo com apenas um EN - ou ENPS - (e com informação completa, como todos os que vimos até agora) for repetido um número finito de vezes, o ENPS do jogo repetido será o EN - ou ENPS - sendo jogado em todos os seus estágios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos payoffs obtidos em cada estágio.

Mais de um EN no jogo de estágio O resultado anterior, de incapacidade de atingir cooperação em um jogo repetido n vezes, pode ser alterado em um jogo no qual existe mais de um EN no jogo de estágio. Analise-se o seguinte jogo, repetido duas vezes: Jogador 2 D E F A 1,1 5,0 0,0 B 0,5 4,4 C 3,3 Jogador 1

Ausência de Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Não é possível saber qual será o EN observado no 1° estágio. Os jogadores podem então chegar ao seguinte Acordo: se no 1° estágio o resultado for (B,E), no segundo eles jogam (C,F); caso, contrário, jogam (A,D) na segunda vez em que o jogo é jogado. Jogador 2 D E F A 2,2 6, 1 1, 1 B 1,6 7, 7 C 1,1 4, 4 Jogador 1

Ausência de Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Jogador 2 D E F A 2,2 6, 1 1, 1 B 1,6 7, 7 C 1,1 4, 4 Jogador 1 É possível encontrar um ENPS que compreenda no 1° estágio um resultado que não seja um EN do jogo jogado uma única vez; no caso, (B,E).

Admitindo Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Jogador 2 D E F G H A 1,1 5,0 0,0 B 0,5 4,4 C 3,3 Y 4, ½ Z ½, 4 Jogador 1

Admitindo-se Renegociação Em alguns jogos é possível encontrar ameaças ou promessas que induzam à cooperação nos seus estágios iniciais e que sejam também resistentes à negociação Considere o seguinte exemplo, que acresce duas estratégias para cada jogador ao jogo anterior. Jogador 2 D E F G H A 1,1 5,0 0,0 B 0,5 4,4 C 3,3 Y 4, ½ Z ½, 4 Jogador 1

Ausência de Renegociação Jogo de estágio: caracterizado pela existência de quatro EN. Jogador 2 D E F G H A 1,1 5,0 0,0 B 0,5 4,4 C 3,3 Y 4, ½ Z ½, 4 Jogador 1

Acordo Proposto Suponha que os jogadores combinem antes do primeiro estágio o seguinte acordo: se o resultado desse for (B, E), na segunda vez ambos jogam (C, F); caso apenas o jogador 1 desvie inicialmente dessa estratégia, na segunda rodada eles jogam (Z, H), correspondendo a uma punição ao j.1; caso o jogador 2 isoladamente desvie, no segundo estágio joga-se (Y, G), punindo-se esse último; se ambos desviarem de (B, E), eles jogam (C, F) na segunda vez.

Admitindo Renegociação Adicione payoffs (1/2,4) em todas as células onde o j.2 escolhe E e o j.1 não escolhe B; Adicione (4,1/2) em todas as células onde o j.1 joga B mas o j.1 não joga E; e Adicione (3,3) em todas as outras: Jogador 2 D E F G H A 1 +3,1 +3 5 +1/2,0 +4 0 +3,0 +3 B 0 +4,5 +1/2 4 +3, 4 +3 0 +4,0 +1/2 C 0 +1/2,0 +4 3 +3, 3+3 Y 4 +3, ½ +3 Z ½ +3, 4 3 Jogador 1

Admitindo-se Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Jogador 2 D E F G H A 4,4 11/2, 4 3,3 B 4, 11/2 7,7 4, ½ C ½, 4 6,6 Y 7, 7/2 Z 7/2, 7 Jogador 1

Admitindo-se Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Jogador 2 D E F G H A 4,4 11/2, 4 3,3 B 4, 11/2 7,7 4, ½ C ½, 4 6,6 Y 7, 7/2 Z 7/2, 7 Jogador 1 Resultado a prova de renegociação: é possível penalizar um “traidor” sem punir a si mesmo;

Admitindo-se Renegociação Jogo Visualizado no primeiro estágio Jogador 2 D E F G H A 4,4 11/2, 4 3,3 B 4, 11/2 7,7 4, ½ C ½, 4 6,6 Y 7, 7/2 Z 7/2, 7 Jogador 1 Resultado a prova de renegociação: é possível penalizar um “traidor” sem punir a si mesmo; Esses resultados se aplicam ao caso em que um jogo se repete mais de duas vezes, com a cooperação sendo possível até o penúltimo estágio. Os payoffs no jogo repetido são a soma simples dos ganhos em todos os estágios.

Jogos Repetidos Infinitamente

Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente Fator de desconto δ (0, 1). Considere a seguinte “estratégia de gatilho” para ambos os jogadores: "cooperar (não confessar) no primeiro estágio; em qualquer estágio subseqüente, coopera se o resultado do período anterior tiver sido (NC, NC), i.e., se tiver ocorrido cooperação; caso contrário, o jogador não coopera mais e confessa daí em diante". Jogador 2 NC C -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Jogador 1

Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (1) A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo? O payoff do jogador que desvia é igual ao Valor Presente dos payoffs obtidos em cada rodada: Jogador 2 NC C -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Jogador 1

Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (2) A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo? O payoff do jogador que não desvia, mas que segue a estratégia de gatilho proposta: Jogador 2 NC C -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Jogador 1

Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (3) A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo? Desviar no primeiro estágio vale a pena se: Jogador 2 Vale a pena desviar se o jogador valoriza pouco o futuro. A estratégia de gatilho é preferível se o jogador não desconta muito o futuro. NC C -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Jogador 1

Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (3) A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo? Para que seja um ENPS, a estratégia de gatilho deve ser um EN de cada subjogo; Como os subjogos são idênticos, o requisito para que se obtenha um EN no jogo inteiro é o mesmo que se aplica para que seja um ENPS: A estratégia de gatilho analisada para os dois jogadores é um ENPS caso o fator de desconto seja superior a 1/6.

Folk Theorem Seja um jogo J, estático, finito e de informação completa. Caso exista um conjunto de estratégias (mesmo que elas não sejam um EN de J) dos jogadores que confiram payoffs (que chamarei de {p1,..., pI}) a todos eles superiores aos que obteriam jogando um EN de J, se o fator de desconto  for suficientemente próximo de um (i.e., se se descontar suficientemente pouco os valores futuros), então existe um ENPS no jogo J repetido infinitas vezes no qual é possível alcançar, em cada estágio, os payoffs {p1,..., pI} para os jogadores.

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Equilíbrio de Cournot no caso de duas firmas: Existe apenas um EN, onde ambas as firmas produzem qi = (a - c) / 3 , i = 1, 2 ,  e lucram cada uma:   i = (a - c)2 / 9 , i = 1, 2 .

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Equilíbrio de Cournot no caso de duas firmas: No caso em que as firmas decidem formar um cartel, a produção e o lucro são dados por: qi = qm/2 = (a - c) / 4 , i = 1, 2 , i = m/2 = (a - c)2 / 8 , i = 1, 2 . Tal conluio não é estável, pois cada uma das firmas tem incentivo a desviar do acordo proposto.

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Tal conluio não é estável, pois cada uma das firmas tem incentivo a desviar do acordo proposto.

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Para esse nível de produto para a firma i, supondo que a outra firma produza qm/2, alcança-se um lucro de:

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Como o jogo se altera no caso em que o Duopólio de Cournot é repetido infinitamente? Estratégia de gatilho:   produzir qm/2 no primeiro período; manter qm/2 em cada período se a outra firma também tiver produzido essa quantidade no período anterior; senão, produzir a quantidade do EN de Cournot para sempre.

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente Como o jogo se altera no caso em que o Duopólio de Cournot é repetido infinitamente? Payoff de cooperar: Payoff associado ao desvio: A estratégia de gatilho proposta jogada por ambos será um EN se:

Duopólio de Cournot Repetido Infinitamente A estratégia de gatilho proposta jogada por ambos será um EN se: se  não é menor que 9/17, então ambos os concorrentes jogarem a estratégia de gatilho acima essa será um EN e um ENPS no jogo repetido infinitamente. Nesse caso, o cartel, para esse dado problema, torna-se estável. Observe que essa não é uma regra para todos os conluios de mercado possíveis.