f(x) = ? x = alunos Hora da aula f(alunos) =

Funções O que é uma função?

Função: Será toda relação ou correspondência entre os elementos de dois conjuntos na qual a cada e todo elemento do 1º conjunto corresponderá um único elemento do 2º conjunto.

Matematicamente: O 1º conjunto será o Domínio com elementos x. O 2º conjunto será o Contradomínio com elementos y. As setas ou traços são a relação ou correspondência. Variável y dependente Variável x independente

Matematicamente: O conjunto Imagem será o conjunto dos elementos y ligados a algum elemento x. D = { 3 , 5 , 7 , 4} CD = { 2 , 4 , 8 , 5 , 1 , 0 , 9 } Im = { 2 , 8 , 1 , 9}

Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Da mesma forma que todo uberlandense é mineiro, mas nem todo mineiro é uberlandense.

Todo uberlandense é mineiro, mas nem todo mineiro é uberlandense. Matematicamente: Minas Uberlândia Todo uberlandense é mineiro, mas nem todo mineiro é uberlandense.

Matematicamente: Relações Funções Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.

Será função? Ou só uma relação!? Não é função, devido ao 3 não ter uma ligação.

Será função? Ou só uma relação!? Não é função, devido ao elemento 2 ter duas ligações.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? Não é função, devido ao elemento 7 ter duas ligações.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? Não é função, devido a elementos sem ter ligações.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? Não é função, devido a elementos x com mais de uma ligações.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Será função? Ou só uma relação!? É função, cada x esta ligado a um único y.

Para sabermos se é função, basta olharmos para as ligações no 1º conjunto. Não é necessário olharmos para o 2º conjunto. É Função.

Será função? Ou só uma relação!?

Será função? Ou só uma relação!? Não é função Não é função É função É função

Classificação das funções: Injetora Sobrejetora Bijetora

Injetora: É injetora Não é injetora Será injetora quando cada diferente x do domínio se ligar ou corresponder a diferentes y do contradomínio. É injetora Não é injetora

Sobrejetora: Será sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio. Im = CD É sobrejetora Não é sobrejetora Im={1,11} CD={1,5,11,13} Im={-1,4,9,14} CD={-1,4,9,14}

Bijetora: Será bijetora quando a função for injetora e sobrejetora. Então é bijetora Não é injetora Não é sobrejetora Não é bijetora

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B) Então é (B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Classifique as funções em: Injetora(I), Sobrejetora(S) ou Bijetora(B)

Então como são feitas as ligações? São feitas através de uma relação que pode ser uma expressão ou sentença. f(x)= 2x² - 5 ; g(x) = 4x + 3 ; h(x) = x³ - 7x Y ={o quadrado do valor menos sua quinta parte}

Lembre-se que: f(x) = y ou Y = f(x)

Ou ainda: f(x) = 2x - 3 ou Y = 2x - 3

Dados A={-4,0,1,4} e B={-7,0,1,2,3,4,9,28} diga se a relação é função e classifique. Sendo f(x) = 2x + 1 temos: B -7 1 2 3 4 9 28 A -4 1 4 f(x) = 2x + 1 f(-4) = 2(-4 )+ 1 = -8 + 1= -7 f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1= 1 f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1= 3 f(4) = 2.4 + 1 = 8 + 1= 9 f(x) é função D = A , CD = B e Im = {-7,1,3,9} Classificação: Injetora

Dados A={-4,0,1,4} e B={-7,0,1,2,3,4,9,28} diga se a relação é função e classifique. Sendo g(x) = x² + 3x temos: B -7 1 2 3 4 9 28 A -4 1 4 g(x) = x² + 3x g(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 - 12 = 4 g(0) = (0)² + 3(0) = 0 + 0 = 0 g(1) = (1)² + 3(1) = 1 + 3 = 4 g(4) = (4)² + 3(4) = 16 + 12 = 28 g(x) é função D = A , CD = B e Im = {0,4,28} Classificação: Não tem, ñ (I), ñ (S), ñ (B)

Dados A={-4,0,1,4} e B={-7,0,1,2,3,4,9,28} diga se a relação é função e classifique. Sendo y = + 1 temos: B -7 1 2 3 4 9 28 A -4 1 4 y = + 1 y = + 1 = ∄ y = + 1 = 0 + 1 = 1 y = + 1 = 1 + 1 = 2 y = + 1 = 2 + 1 = 3 Não é função D = ∄ , CD = ∄ e Im = ∄ Classificação: ∄

Toda função de A em B bijetora possui uma função inversa de B em A. X . B Y .

Ou seja: A 2 4 5 . B 3 7 8 . B 3 7 8 . A 2 4 5 .

Como encontrar a função inversa? Para encontrarmos a função inversa devemos: Trocar f(x) por y Trocar as variáveis x e y (uma pela outra) Isolar a variável y

Vamos encontrar algumas inversas. Se f(x) = 5x – 3 então f -1 (x) será? 1º Troque f(x) por y : f(x) = 5x – 3 y = 5x – 3 2º Troque x com y : y = 5x – 3 x = 5y – 3 3º Isole o y : x = 5y – 3 x + 3 = 5y x + 3 = y 5 Então f -1 (x) = x + 3 5

Vamos encontrar algumas inversas. Se g(x) = 3x + 5 então g -1 (x) será? x – 2 1º Troque g(x) por y : g(x) = 3x + 5 ⇾ y = 3x + 5 x – 2 x – 2 2º Troque x com y : y = 3x + 5 ⇾ x = 3y + 5 x – 2 y – 2 3º Isole o y : x = 3y + 5 y – 2 x(y – 2) = 3y + 5 xy – 2x = 3y + 5 xy – 3y = 2x + 5 y(x – 3) = 2x + 5 y = 2x + 5 x – 3 Então g -1 (x) = 2x + 5 x – 3

Vamos encontrar algumas inversas. Se h(x) = 4x3 – 1 então h -1 (x) será? 1º Troque h(x) por y : h(x) = 4x3 – 1 y = 4x3 – 1 2º Troque x com y : y = 4x3 – 1 x = 4y3 – 1 3º Isole o y : x = 4y3 – 1 x + 1 = 4y3 x + 1 = y3 4 = y Então h-1 (x) =

Uma aplicação da função inversa. Enviando mensagens secretas Alfabeto codificado 0 = 01 A = 11 K = 21 U = 31 1 = 02 B = 12 l = 22 V = 32 2 = 03 C = 13 M = 23 W = 33 3 = 04 D = 14 N = 24 X = 34 4 = 05 E = 15 O = 25 Y = 35 5 = 06 F = 16 P = 26 Z = 36 6 = 07 G = 17 Q = 27 . = 37 7 = 08 H = 18 R = 28 ? = 38 8 = 09 I = 19 S = 29 , = 39 9 = 10 J = 20 T = 30 Espaço = 99

Enviando a mensagem: ‘’ Te amarei por toda vida Any ’’ Te = 3015 Pelo alfabeto codificado temos: Te = 3015 Amarei = 112311281519 Por = 262528 Toda = 30251411 Vida = 32191411 Any = 112435

Codificando: Te = 3015 Amarei = 112311281519 Por = 262528 Toda = 30251411 Vida = 32191411 Any = 112435 f(x) = 5x + 29 f(3015) = 5.(3015) + 29 = 15075 + 29 = 15104 f(112311281519) = 5.(112311281519) + 29 = = 561556407595 + 29 = 561556407624 f(262528) = 5.(262528) + 29 = 1312640 + 29 = 1312669 f(30251411) = 5.(30251411) + 29 = 151257055 + 29 = 151257084 f(32191411) = 5.(32191411) + 29 = 160957055 + 29 = 160957084 f(112435) = 5.(112435) + 29 = 562175 + 29 = 562204

Mensagem codificada enviada Te = 15104 Amarei = 561556407624 Por = 1312669 Toda = 151257084 Vida = 160957084 Any = 562204 Enviar: 1510499561556407624991312669991512570849916095708499562204

Recebendo a mensagem: Pois f(x) codifica e f -1(x) decodifica Sendo f(x) = 5x + 29 temos que encontrar sua inversa f -1(x) . Pois f(x) codifica e f -1(x) decodifica 1º Troque f(x) por y : f(x) = 5x + 29 y = 5x + 29 2º Troque x com y : y = 5x + 29 x = 5y + 29 3º Isole o y : x = 5y + 29 x – 29 = 5y x – 29 = y 5 Então f -1 (x) = x – 29 5

Decodificando: Recebendo: f -1 (x) = x – 29 5 1510499561556407624991312669991512570849916095708499562204 f -1 (x) = x – 29 5 f -1 (15104) = (15104 – 29 )/5 =15104/5 = 3015 f -1 (561556407624) = (561556407624 – 29 )/5 = 561556407595/5 = 112311281519 f -1 (1312669) = (1312669)/5 =1312640/5 = 262528 f -1 (151257084) = (151257084)/5 = 151257055/5 = 30251411 f -1 (160957084) = (160957084)/5 = 160957055/5 = 32191411 f -1 (562204) = (562204)/5 = 562175/5 = 112435 301599112311281519992625289930251411993219141199112435

Traduzindo: T e a m a r e i p o r T o d a v i d a A n y 0 = 01 A = 11 K = 21 U = 31 1 = 02 B = 12 l = 22 V = 32 2 = 03 C = 13 M = 23 W = 33 3 = 04 D = 14 N = 24 X = 34 4 = 05 E = 15 O = 25 Y = 35 5 = 06 F = 16 P = 26 Z = 36 6 = 07 G = 17 Q = 27 . = 37 7 = 08 H = 18 R = 28 ? = 38 8 = 09 I = 19 S = 29 , = 39 9 = 10 J = 20 T = 30 Espaço = 99 301599112311281519992625289930251411993219141199112435 T e a m a r e i p o r T o d a v i d a A n y

Fim por enquanto pessoal!