ÁLGEBRA sistemas Sistemas de Equações lineares Prof. Ademilson

Equação linear Definição Chama-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma em que são números reais quaisquer chamados coeficientes, são as incógnitas e o número real é o termo independente Obs:.para ser uma equação linear as incógnitas devem apenas estar elevadas ao expoente 1.

Sistemas lineares Definição Chama-se sistema linear um conjunto de equações lineares consideradas simultaneamente. Forma geral

Sistema linear Solução de um sistema linear A solução de um sistema linear é todo conjunto ordenado, de n elementos, que satisfaz, simultaneamente, todas as equações desse sistema, sendo n o número de incógnitas dele. Exemplo Seja o sistema:

Sistema linear Sistemas lineares equivalentes São sistemas que possuem mesma solução. Exemplo:

Possível Impossível Sistema linear Classificação de um sistema linear Determinado (Tem uma só solução) Possível (Tem pelo menos uma solução) Indeterminado (Tem uma infinidade de soluções) Impossível (Não tem solução)

Sistema linear Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (2 x 2) Solução única: Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam.

Sistema linear Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (2 x 2) Infinitas soluções: Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções do sistema.

Sistema linear Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (2 x 2) O sistema não admite solução: Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

Possível Impossível Sistema linear Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (2 x 2) y x Determinado (Tem uma só solução) Possível y x (Tem pelo menos uma solução) Indeterminado (Tem uma infinidade de soluções) y x Impossível (Não tem solução)

Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (3 x 3) O sistema que trabalha com 3 incógnitas são representadas geometricamente por planos, e o tipo de solução do sistema representa situações iguais a que se referem a retas, paralelas, coincidentes ou com intersecção. SPD - os três planos se interceptam segundo um único ponto. SPI - Os três planos se interceptam segundo uma reta.

Interpretação geométrica da solução de um sistema linear (3 x 3) Se o sistema em questão for do tipo SI, não haverá solução (x, y, z) . Isso significa que não existirá uma interseção para os três planos no R3. Geometricamente teremos várias situações. Algumas delas são: Figura 01: Os três planos interceptam-se dois a dois. Figura 02: Os três planos são paralelos distintos [não se interceptam]. Figura 03: Dois dos planos são paralelos distintos [não se interceptam].

Sistema linear Resolução de um sistema linear Nos iremos estudar duas formas de resolução de um sistema linear, pela regra de Cramer “Determinante” e por escalonamento “Soma” Método de “Cramer” É empregada para resolver um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas, aplicando determinantes

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Considere o sistema a seguir, Inicialmente constrói –se a matriz, formada pelos coeficientes das incógnitas;

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Calcula-se o determinante da matriz chamando de determinante geral “ “

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Calcula-se o determinante parcial da incógnita x ; “consiste em trocar a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes”

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Calcula-se o determinante parcial da incógnita de y ; “consiste em trocar a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes”

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Calcula-se 0 determinante parcial da incógnita de z ; “consiste em trocar a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes”

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” O valor de cada incógnita é o quociente da divisão do determinante parcial pelo determinante geral

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Cramer” Resolva os sistemas:

Sistema linear Método por “Escalonamento” Um sistema está escalonado quando, no sentido de cima para baixo houver um aumento dos coeficientes nulos até ter apenas na ultima equação um coeficiente não nulo. Exemplo:

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Escalonamento” Resolva o sistema: Multiplicamos a 1º equação por -3 e adicionamos o resultado à 2º ;

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Escalonamento” Resolva o sistema: Multiplicamos a 1º equação por 2 e adicionamos o resultado à 3º ;

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Escalonamento” Resolva o sistema: Multiplicamos a 2º equação por -1 e adicionamos o resultado à 3º ;

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Escalonamento” Resolva o sistema: Temos o sistema escalonado “um sistema equivalente ao inicial”

Sistema linear Resolução de um sistema linear “Escalonamento” Resolva os sistemas:

Sistema linear Aplicação de sistemas lineares Exemplo: Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro, com 3g cada, de prata com 5g cada e de bronze com 7g cada ao preço unitário de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87g determine o número de medalhas de ouro.

Sistema linear Discussão de um sistemas lineares Discutir um sistema linear, em função de um parâmetro real, significa encontrar os valores do parâmetro que torna o sistema possível ou impossível.

Sistema linear Discussão de um sistemas lineares Discutir o sistema linear.