TIR’s Múltiplas Fonte: Adaptado de Avaliação de Projetos de Invest., J.C. Lapponi, 2000 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Curso de Graduação em Engenharia de Produção ENG 1920 – Análise Econômica de Investimentos Prof. Ricardo Rezende, D.S.

Apresentação Antes de avaliar um projeto de investimento pelo método da TIR, deve-se verificar se o fluxo de caixa é do tipo simples ou convencional, garantindo a existência de uma única TIR Se os capitais do fluxo de caixa do investimento apresentarem mais de uma mudança de sinal, por exemplo, o fluxo de caixa (-, +, -, +, ..., +) poderá ter mais de uma TIR Neste caso, deve-se determinar a existência e o nº de Taxas Internas de Retorno Múltiplas, denominadas taxas múltiplas ou TIR’s

Exemplo 1 Determinar a TIR do fluxo de caixa da tabela seguinte: Solução: A TIR é a taxa de juro que zera o VPL do fluxo de caixa; para este exemplo, tem a expressão: Anos Capitais ($1.000) 1 $1.100 2 $260

Exemplo 1 Substituindo na expressão os dados do exemplo 1, forma-se a equação: Multiplicando os 2 membros por –(1+TIR)2 e dividindo por $1.000, tem-se: Fazendo x = 1+TIR, tem-se o polinômio de 2º grau:

Exemplo 1 Resolvendo a equação, obtém-se: x1 = 1,30 e x2 = -0,20 Se x = 1 + TIR, então TIR = x – 1, obtendo-se duas TIR’s: TIR1 = 30% e TIR2 = -120% ao ano Do ponto de vista financeiro, somente deve ser aceita a TIR1 = 30%; além disso, a TIR2 = -120% contraria o intervalo da taxa de juro no modelo da matemática financeira: -100%  i  + 

Exemplo 1 Analisando os resultados do exemplo 1: Os capitais do fluxo de caixa (-, +, +) têm uma mudança de sinal; Substituindo x = 1 + TIR obteve-se x1 = 1,30 e x2 = -0,20 Então, com a expressão TIR = x – 1, encontrou-se TIR1 = 30% e TIR2 = -120% ao ano No Modelo da Matemática Financeira, somente interessam as raízes positivas x  0 Por que? Porque a uma raiz negativa x < 0 corresponde uma TIR menor que -1, ou menor que 100%

Exemplo 1 O perfil do VPL registrado no gráfico abaixo mostra a existência de uma única TIR: k VPL -50% $ 2.240 -40% $ 1.556 -30% $ 1.102 -20% $ 781 -10% $ 543 0% $ 360 10% $ 215 20% $ 97 30% $ 0 40% ($ 82) 50% ($ 151)

Exemplo 2 Determinar a TIR do fluxo de caixa da tabela seguinte: Solução: Substituindo na expressão os dados do exemplo 2, forma-se a equação: Anos Capitais ($1.000) 1 $2.550 2 ($1.610)

Exemplo 2 Multiplicando os 2 membros por –(1+TIR)2 e dividindo por $1.000, tem-se: Fazendo x = 1+TIR, tem-se o polinômio de 2º grau: Resolvendo a equação, obtém-se: x1 = 1,15 e x2 = 1,40 e duas TIR’s: TIR1 = 15% e TIR2 = 40% ao ano

Exemplo 2 Analisando os resultados do exemplo 2: Não é correto aplicar o método da TIR neste investimento, pois seu fluxo de caixa não é do tipo simples como exige o método; Os capitais do fluxo de caixa (-, +, -) têm duas mudanças de sinal; Substituindo x = 1 + TIR obteve-se x1 = 1,15 e x2 = 1,40 Então, com a expressão TIR = x – 1, encontrou-se TIR1 = 15% e TIR2 = 40% ao ano No Modelo da Matemática Financeira, interessam as duas soluções, pois são raízes positivas x  0

Exemplo 2 O perfil do VPL registrado no gráfico abaixo mostra a existência das duas TIR’s: Observe que pelo método do VPL, para k = 10% ao ano, o projeto não deve ser aceito (-$12,4); pelo método da TIR, a decisão seria aceitar o projeto

Determinando o nº de TIR’s múltiplas Seja um fluxo de caixa com periodicidade uniforme tendo pelo menos um capital com sinal diferente dos restantes A expressão do VPL é: Fazendo x = 1 + TIR e expandindo a expressão: Multiplicando os dois membros por xn:

Determinando o nº de TIR’s múltiplas No polinômio P(x) de grau n: Os coeficientes de P(x) são nos reais, positivos ou negativos; O polinômio tem n raízes, reais e, ou, complexas; As raízes reais podem ser positivas ou negativas, mas interessam apenas as positivas porque não se admite, do ponto de vista financeiro, uma TIR menor que -1, ou -100% O fluxo do ex.1 tem 2 raízes reais x1 = 1,30 e x2 = - 0,20, apenas uma raiz positiva, e única TIR = 30% O fluxo do ex.2 tem 2 raízes reais e positivas x1 = 1,15 e x2 = 1,40, e 2 TIR’s: TIR1 = 15% e TIR2 = 40%

Regra de Descartes Antes de calcular a TIR de um fluxo de caixa deve- se ter o cuidado de verificar se o polinômio tem mais de uma solução real e positiva O 1º passo é aplicar a Regra de Descartes que permite prever o nº de TIR’s múltiplas: Num fluxo de caixa com coeficientes reais, o nº de raízes reais maiores que -100% é igual ou menor que o nº de mudanças de sinal dos capitais do fluxo de caixa No ex. 1, com apenas 1 mudança de sinal, há no máximo apenas 1 TIR com valor real maior que - 100%; no ex. 2, podem existir 2 ou menos TIR’s

Regra de Norstrom A regra anterior fornece uma idéia sobre as TIR’s; mas como saber a quantidade e seus valores? A Regra de Norstrom permite definir a existência de uma única TIR real e positiva Deve-se construir inicialmente uma tabela: Anos Capitais Capitais Acumulados FC0 1 FC1 FC0 + FC1 2 FC2 FC0 + FC1 + FC2 ... n FCn FC0 + FC1 + FC2+ ...+ FCn

Regra de Norstrom Nas 2 primeiras colunas da tabela anterior registra- se o fluxo de caixa do investimento; em cada linha da 3ª coluna registra-se a soma algébrica dos capitais do fluxo de caixa da data inicial zero até a linha do ano que a soma está sendo realizada Para que o fluxo de caixa de um investimento tenha uma única TIR com valor real e positivo: O capital inicial FC0 deve ser negativo O capital acumulado na data terminal n deve ser positivo O fluxo de caixa formado pelos capitais acumulados deve ter uma única mudança de sinal

Exemplo 3 Aplicar a Regra de Norstrom no fluxo de caixa do exemplo 1: Solução: constrói-se a tabela abaixo Há uma única TIR porque: O capital inicial FC0 é negativo O capital acumulado no ano 2 é positivo Os capitais acumulados têm única mudança de sinal Anos Capitais Capitais Acumulados ($1.000) 1 $1.100 $100 2 $260 $360

Exemplo 4 Aplicar a Regra de Norstrom no fluxo de caixa do exemplo 2: Solução: constrói-se a tabela abaixo Não há uma única TIR porque: O capital inicial FC0 é negativo O capital acumulado no ano 2 é negativo Os capitais acumul. não têm única mudança de sinal Anos Capitais Capitais Acumulados ($1.000) 1 $2.550 $1.550 2 ($1.610) ($60)

Procura e determinação de TIR’s A Regra de Descartes permite definir o nº de TIR’s maiores que -100% e a Regra de Norstrom, na maioria dos casos, identifica a existência de apenas uma TIR maior que 0% Mas como determina-se o nº e calcula-se os valores das TIR’s de um fluxo de caixa? Procedimento: Verificar se o nº de mudanças de sinal dos capitais do fluxo de caixa: única mudança = única TIR; caso contrário, continue com o item 2 Com a Regra de Descartes define-se o nº máximo possível de TIR’s

Procura e determinação de TIR’s Procedimento (cont.): Com a Regra de Norstrom verifica-se a existência de uma única TIR positiva; caso contrário, continue com o item 4 Uma forma prática de determinar o nº e calcular o valor das TIR’s começa pela construção do perfil do VPL; ajustado de forma conveniente, o intervalo da taxa de juro usado para construir esse perfil possibilita: A confirmação do resultado da Regra de Descartes Determinar valores de taxas de juros próximas das TIR’s procuradas

Critério do método com TIR’s múltiplas O método da TIR deve ser aplicado em um fluxo de caixa simples, garantindo a existência de uma única TIR Quando há mais de uma mudança de sinal, o fluxo de caixa pode ter mais de uma TIR; então, o critério deve ser ampliado para atender o caso de TIR’s múltiplas Se há mais de uma TIR, não deve ser aplicado o critério de aceitação do método da TIR Então, como avaliar o projeto de investimento? Recomenda-se aplicar o método do VPL

Exemplo 5 Anos Capitais $ 0 1 $ 180.000 2 $ 100.000 3 $ 50.000 4 ($ 1.800.000) 5 $ 600.000 6 $ 500.000 7 $ 400.000 8 $ 300.000 9 $ 200.000 10 O fluxo de caixa anual, depois dos impostos do investimento para exploração de uma mina de ferro está registrado ao lado Verificar se este projeto de investimento deve ser aceito pelo método do VPL e pelo método da TIR, considerando a taxa requerida de 10% ao ano

Exemplo 5 – calculando o VPL O fluxo de caixa para a exploração de uma mina tem particularidades: até o final do 3º ano o investimento é pequeno comparado com os retornos líquidos, pois a exploração inicial é feita acima do terreno Nos 3 anos seguintes os retornos são decrescentes, até que no 4º ano é realizado o investimento pesado para a exploração da parte subterrânea da mina de ferro Calculando-se o VPL, considerando k = 10%, obtêm-se $177.801; aceita-se o projeto pois VPL>0 Para o cálculo da TIR, obtém-se o perfil do VPL

Exemplo 5 – obtendo o perfil do VPL Visualmente, pode-se confirmar a existência de 2 TIR’s; o passo seguinte é encontrar seus valores k VPL 10% $ 177.802 15% $ 80.342 20% $ 25.215 25% ($ 4.201) 30% ($ 18.016) 35% ($ 22.451) 40% ($ 21.364) 45% ($ 17.160) 50% ($ 11.335) 55% ($ 4.813) 60% $ 1.840 65% $ 8.291

Exemplo 5 – calculando as TIR’s Usando o Excel, com o método da TIR (=TIR(intervalo de valores)), obtém-se 24,04% Porém, o Excel não informa que o fluxo de caixa não é simples Então, pelo perfil do VPL, visualiza- se valores de taxas de juros próximas da TIR procurada Cálculo das TIR's com a função TIR Anos Capitais $ 0 1 $ 180.000 2 $ 100.000 3 $ 50.000 4 ($ 1.800.000) 5 $ 600.000 6 $ 500.000 7 $ 400.000 8 $ 300.000 9 $ 200.000 10 TIR1 24,04% =TIR(C71:C81;0,2) TIR2 58,61% =TIR(C71:C81;0,6)

Modelo financeiro para TIR’s Lapponi (2000) desenvolveu um modelo para determinação e cálculo das TIR’s de um fluxo de caixa Embora seja um modelo específico para fluxos de caixa com mais de uma mudança de sinal de seus capitais, pode ser usado com qualquer fluxo de caixa simples Está programado para a entrada de até 50 capitais; solicita a taxa requerida, as taxas estimadas para obtenção das TIR’s (em função do perfil do VPL); apresenta o VPL, a quantidade de capitais, as mudanças de sinal e o nº de TIR’s

Modelo financeiro para TIR’s

Exercícios Determinar o nº de TIR’s do investimento cujo fluxo de caixa está registrado na tabela seguinte. Continuando com o problema 1. O fluxo de caixa tem uma única TIR? Anos Capitais ($40) 1 $114 2 ($80) Pela Regra de Descartes até 2 TIR’s Não. Pela Regra de Norstrom, o fluxo de caixa não tem uma única TIR.

Exercícios Continuando com o problema 1. Calcular as TIR’s do fluxo de caixa. Determinar o nº de TIR’s do fluxo de caixa da tabela seguinte TIR1 = 25% e TIR2 = 60% ao ano Anos Capitais ($1.000) 1 $3.650 2 ($4.410) 3 $1.764 Pela Regra de Descartes até 3 TIR’s

Exercícios Continuando com o problema 4. O fluxo de caixa tem uma única TIR? Continuando com o problema 4. Calcular as TIR’s do fluxo de caixa. Não. Pela Regra de Norstrom, o fluxo de caixa não tem uma única TIR. TIR1 = 5%, TIR2 = 20% e TIR3 = 40% ao ano

Exercícios Determinar o nº de TIR’s do fluxo de caixa da tabela seguinte. Continuando com o problema 7. O fluxo de caixa tem uma única TIR? Anos Capitais ($1.000) 1 $250 2 ($400) 3 $350 4 $450 5 $520 Pela Regra de Descartes até 3 TIR’s Sim. Pela Regra de Norstrom, o fluxo de caixa tem uma única TIR.

Exercícios Continuando com o problema 7. Calcular as TIR’s do fluxo de caixa. Determinar as TIR’s do fluxo de caixa da tabela seguinte. Tem uma única TIR = 3,84% ao ano Anos Capitais ($95.000) 1 $600.000 2 ($1.100.000) 3 $620.000 TIR1 = 19,77% e TIR2 = 51,03%

Exercícios Determinar as TIR’s do fluxo de caixa da tabela seguinte. Anos Capitais ($380.000) 1 $600.000 2 $200.000 3 ($400.000) TIR1 = -6,78% e TIR2 = 43,42% ao ano. A Regra de Norstrom mostra que existe uma única TIR > 0

Exercícios Determinar as TIR’s do fluxo de caixa da tabela seguinte. Anos Capitais ($150.000) 1 $50.000 2 ($80.000) 3 $100.000 4 5 TIR = 33,92% ao ano