Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br POLINÔMIOS operações Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br
Polinômio
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Polinômio Onde cabe mais? elhor fazer uma caixa com uma altura "grande" (altura maxima) ou uma altura "pequena" (altura minima)?
Polinômio 30 𝑽 𝟓 = ? 𝑽 𝟓 = 𝟓 × 𝟐𝟎×𝟒𝟎 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒖³ 5 50
Se o altura da caixa aumentar, o volume também aumentará? Polinômio 30 Se o altura da caixa aumentar, o volume também aumentará? 10 𝑽 𝟓 =𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒖³ 𝑽 𝟏𝟎 = ? V(10) = 𝟏𝟎 ×𝟏𝟎×𝟑𝟎 =𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒖³ 50
Se o altura da caixa aumentar, o volume reduzirá? Polinômio 30 Se o altura da caixa aumentar, o volume reduzirá? 6 𝑽 𝟓 =𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒖³ 𝑽 𝟏𝟎 =𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒖³ V(6) = ? 𝑽 𝟔 =𝟔 ×𝟏𝟖×𝟑𝟖 =𝟒𝟏𝟎𝟒 𝒖³ 50
Polinômio 30 6 50
Quais alturas não podem existir? Polinômio 30 Quais alturas não podem existir? 𝑽(𝒙) = ? x 50 x 50 – 2x 30 – 2x
Polinômio 30 𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙³ − 𝟏𝟔𝟎𝒙² + 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙 Quantas raízes? x Quais raízes? 𝒙’ = 𝟎; 𝒙’’ = 𝟏𝟓 𝒆 𝒙’’’ = 𝟐𝟓. x 50
Polinômio 30 x 𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙³ − 𝟏𝟔𝟎𝒙² + 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙 50
Polinômio 𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙³ − 𝟏𝟔𝟎𝒙² + 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙
𝑓 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥² + 𝑎 3 𝑥³+ …+ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 Polinômio 𝑓: ℂ→ℂ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥² + 𝑎 3 𝑥³+ …+ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 Coeficiente dominante Grau do polinômio
Grau do polinômio É o expoente de maior valor da variável; Indica o total de raízes (soluções) que a equação possui; Auxilia na divisão por outro polinômio.
Grau do polinômio −2𝑥³ + 𝑥² + 1 −16 𝑥 5 + 1 2 𝑥²+𝑥 7𝑥 10
Igualdade de polinômios 𝑨 𝒙 = 𝑩 𝒙 ⇔ 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃 𝒏 𝒙 𝒏 2𝑥³ + 5𝑥² + 10 = (𝑝 + 𝑞)𝑥³ + 2𝑞𝑥² + 𝑟𝑥 + 10 ⇔ 𝑝 + 𝑞 = 2 2𝑞 = 5 𝑟 = 0
Operações: ADIÇÃO 3𝑥 + 1 = 𝑥² + 𝑥 = 4𝑥 𝑥³ 𝑥² + 𝑥 = 3𝑥𝑦 + 10𝑥= 𝑥² 13𝑥𝑦 𝑎 +𝑏 = 𝑥² + 𝑥 = 𝑎𝑏 2𝑥
Operações: ADIÇÃO 3 + 2 = ?
Operações: ADIÇÃO Só se soma monômios (termos) com a mesma parte literal (letras/incógnitas/variáveis) e expoentes iguais!
Operações: ADIÇÃO
Operações: SUBTRAÇÃO 3𝑥 − 1 = 2𝑥² − 𝑥² = 2𝑥 1 𝑥² − 𝑥² = 13𝑥𝑦 − 10𝑥= 3𝑥𝑦 𝑎𝑏 −𝑏 = 𝑥² − 𝑥 = 𝑎 𝑥
Operações: SUBTRAÇÃO 2 − = ?
Operações: SUBTRAÇÃO Só se subtrai monômios (termos) com a mesma parte literal (letras/incógnitas/variáveis) e expoentes iguais!
Operações: SUBTRAÇÃO
Operações: MULTIPLICAÇÃO 3𝑥 ×2𝑦 = 2𝑥² × 𝑥² = 6𝑥𝑦 2𝑥² −𝑥² × 𝑥² = 13𝑥𝑦 × 10𝑥= 130𝑥²𝑦 𝑎𝑏 ×𝑏 = 𝑥² ×2𝑥 = 𝑎𝑏 2𝑥³
Operações: MULTIPLICAÇÃO 𝑎 ×𝑏=𝑏+𝑏+ …+𝑏 𝑎 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 2𝑎 ×3𝑏=3𝑏+…+3𝑏 =6𝑎𝑏 2𝑎 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 2×𝟐 ×3𝑏=4 × 3𝑏=3𝑏+3𝑏+3𝑏+3𝑏=12𝑏=6 ×𝟐𝑏
Operações: MULTIPLICAÇÃO Deve multiplicar todos os monômios (termos) separadamente: parte numérica com parte numérica e parte literal com parte literal.
Operações: MULTIPLICAÇÃO
Operações: DIVISÃO dividendo 𝟏𝟕 𝟐 𝟖 16 𝟏 divisor quociente resto (< 2) 17= 2 ×8+1 dividendo = divisor × quociente + resto
Operações: DIVISÃO dividendo 𝑨(𝒙) 𝑩(𝒙) 𝑸(𝒙) 𝑹(𝒙) divisor Resto (< 𝑩(𝒙)) quociente 𝑨(𝒙)= 𝑩(𝒙) ×𝑸(𝒙)+𝑹(𝒙)
O grau de 𝑄(𝑥) é a diferença entre os graus de 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥). Operações: DIVISÃO 𝟒𝟖𝟗 9 𝟐𝟏 42 2 3 6 Ao dividir 2 polinômios, 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥), o grau do 𝑅(𝑥) é sempre menor que o grau de 𝐵(𝑥). O grau de 𝑄(𝑥) é a diferença entre os graus de 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥). 63 6 𝟒𝟖𝟗=𝟒 ∙ 10 2 +𝟖 ∙ 10 1 +𝟗 ∙ 10 0 𝟐𝟏=𝟐 ∙ 10 1 +𝟏 ∙ 10 0 𝟐𝟑=𝟐 ∙ 10 1 +𝟑 ∙ 10 0 𝟔=𝟔 ∙ 10 0
Operações: DIVISÃO 489 21 4 ∙ 10² + 8 ∙ 101 + 9 ∙ 100 2 ∙ 101 + 1 ∙ 100 − 4 ∙ 102 + 2 ∙ 101 2 ∙ 101 + 3 ∙ 100 6 ∙ 101 + 9 ∙ 100 − 23 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100 6 ∙ 100 6
Operações: DIVISÃO 4𝑥² + 8𝑥 + 9 2𝑥 + 1 − 4𝑥2 + 2𝑥 2𝑥 + 3 6𝑥 + 9 − 4𝑥² + 8𝑥 + 9 2𝑥 + 1 − 4𝑥2 + 2𝑥 2𝑥 + 3 6𝑥 + 9 − 6𝑥 + 3 6
Divisão de polinômios pelo Método da chave I Operações: DIVISÃO 8𝑥4 – 6𝑥² + 3𝑥 – 2 2𝑥² – 3𝑥 + 2 − 8𝑥4 – 12𝑥³ + 8𝑥² 4𝑥² + 6𝑥 + 2 12𝑥³ – 14𝑥² + 3𝑥 – 2 − 12𝑥³ – 18𝑥² + 12𝑥 4𝑥² – 9𝑥 – 2 − 4𝑥² – 6𝑥 + 4 – 3𝑥 – 6 Divisão de polinômios pelo Método da chave I
Operações: DIVISÃO 6𝑥4 – 2𝑥³ + 8𝑥² + 𝑥 – 4 3𝑥² – 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 6𝑥4 – 2𝑥³ + 8𝑥² + 𝑥 – 4 = (3𝑥² – 𝑥 + 1) (𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑𝑥 + 𝑒 6𝑥4–2𝑥³+8𝑥²+𝑥 –4 = 3𝑎𝑥4+3𝑏𝑥3+3𝑐𝑥²−𝑎𝑥³−𝑏𝑥²−𝑐𝑥+𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 +𝑑𝑥+𝑒 6𝑥4–2𝑥³+8𝑥²+𝑥 –4 = 3𝑎𝑥4+ 3𝑏−𝑎 𝑥3+ 3𝑐−𝑏+𝑎 𝑥 2 +(𝑏−𝑐+𝑑)𝑥+(𝑐+𝑒)
Operações: DIVISÃO 6𝑥4 – 2𝑥³ + 8𝑥² + 𝑥 – 4 3𝑥² – 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 6𝑥4 – 2𝑥³ + 8𝑥² + 𝑥 – 4 = (3𝑥² – 𝑥 + 1) (𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑𝑥 + 𝑒 6𝑥4–2𝑥³+8𝑥²+𝑥 –4 = 3𝑎𝑥4+3𝑏𝑥3+3𝑐𝑥²−𝑎𝑥³−𝑏𝑥²−𝑐𝑥+𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 +𝑑𝑥+𝑒 6𝒙𝟒–2𝒙³+8𝒙²+𝒙 –4 = 3𝑎𝐱𝟒+ 3𝑏−𝑎 𝒙𝟑+ 3𝑐−𝑏+𝑎 𝒙 𝟐 +(𝑏−𝑐+𝑑)𝒙+(𝑐+𝑒)
Divisão de polinômios pelo Método da chave II Operações: DIVISÃO 6𝑥4 – 2𝑥³ + 8𝑥² + 𝑥 – 4 3𝑥² – 𝑥 + 1 3𝑥−6 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 2𝑥² + 2 6𝒙𝟒–2𝒙³+8𝒙²+𝒙 –4 = 3𝑎𝐱𝟒+ 3𝑏−𝑎 𝒙𝟑+ 3𝑐−𝑏+𝑎 𝒙 𝟐 +(𝑏−𝑐+𝑑)𝒙+(𝑐+𝑒) 6=3𝑎 ⇒𝒂=𝟐 −2=3𝑏−𝑎 ⇒𝒃=𝟎 8=3𝑐−𝑏+𝑎 ⇒𝒄=𝟐 1=𝑏−𝑐+𝑑 ⇒𝒅=𝟑 Divisão de polinômios pelo Método da chave II −4=𝑐+𝑒 ⇒𝒆=−𝟔
DIVISÃO POR BINÔMIO 3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝑥 – 2 𝑒 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1= (𝑥 –2) 𝑎𝑥3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 +𝑒 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1 =𝑎𝑥4+𝑏𝑥³+𝑐𝑥²+𝑑𝑥 –2𝑎𝑥³–2𝑏𝑥²–2𝑐𝑥 –2𝑑+𝑒 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑)
DIVISÃO POR BINÔMIO 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑) 3=𝑎 ⇒𝑎=3 −2=𝑏−2𝑎 ⇒𝑏=2𝑎 −2=4 2=𝑐−2𝑏 ⇒𝑐=2𝑏+2= 10 −1=𝑑−2𝑐 ⇒𝑑=2𝑐−1=19 1=𝑒−2𝑑 ⇒𝑑=2𝑑+1=39
DIVISÃO POR BINÔMIO 𝟑𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑) 3=𝑎 ⇒𝑎=𝟑 −2=𝑏−2𝑎 ⇒𝑏=2𝑎 −2=4 2=𝑐−2𝑏 ⇒𝑐=2𝑏+2= 10 −1=𝑑−2𝑐 ⇒𝑑=2𝑐−1=19 1=𝑒−2𝑑 ⇒𝑑=2𝑑+1=39
DIVISÃO POR BINÔMIO 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑) 𝟐 é 𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒅𝒐 𝒃𝒊𝒏ô𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒐𝒓 3=𝑎 ⇒𝑎=3 −2=𝑏−2𝑎 ⇒𝑏=𝟐𝑎 −2=4 2=𝑐−2𝑏 ⇒𝑐=𝟐𝑏+2= 10 −1=𝑑−2𝑐 ⇒𝑑=𝟐𝑐−1=19 1=𝑒−2𝑑 ⇒𝑑=𝟐𝑑+1=39
DIVISÃO POR BINÔMIO 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑) 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝐞 𝒅 𝒔ã𝒐 𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒐𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒒(𝒙) 3=𝒂 ⇒𝑎=3 −2=𝒃−2𝑎 ⇒𝑏=2𝒂 −2=4 2=𝒄−2𝑏 ⇒𝑐=2𝒃+2= 10 −1=𝒅−2𝑐 ⇒𝑑=2𝒄−1=19 1=𝑒−2𝑑 ⇒𝑑=2𝒅+1=39
DIVISÃO POR BINÔMIO 3𝑥4–2𝑥³+2𝑥²–𝑥+1=𝑎𝑥4+(𝑏–2𝑎)𝑥3+(𝑐–2𝑏)𝑥²+(𝑑–2𝑐)𝑥+(𝑒–2𝑑) −𝟐, 𝟐, −𝟏 𝐞 𝟏 𝒔ã𝒐 𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫(𝒙) 3=𝑎 ⇒𝑎=3 −𝟐=𝑏−2𝑎 ⇒𝑏=2𝑎 −𝟐=4 𝟐=𝑐−2𝑏 ⇒𝑐=2𝑏+𝟐= 10 −𝟏=𝑑−2𝑐 ⇒𝑑=2𝑐−𝟏=19 𝟏=𝑒−2𝑑 ⇒𝑑=2𝑑+𝟏=39
DIVISÃO POR BINÔMIO Binômio do tipo 𝑥 + 𝑎 ou 𝑥 – 𝑎. 𝑃(𝑥)÷(𝑥+𝑎) ou 𝑃(𝑥)÷(𝑥−𝑎) resulta em 𝑄(𝑥) com coeficiente dominante igual ao do 𝑃(𝑥). Os demais coeficientes de 𝑄(𝑥) são o produto de 𝑎 (raiz do binômio) pelo coeficiente anterior somado ao coeficiente semelhante de 𝑃(𝑥).
Divisão de polinômios pelo Dispositivo prático de Briot-Ruffini DIVISÃO POR BINÔMIO Paolo Ruffini 1765 – 1822 Charles Auguste Briot 1817 – 1882 Divisão de polinômios pelo Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 2 3 − 2 −1 1
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 2 3 − 2 −1 1
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 2 =2 – 2=0 2 3 − 2 −1 1
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆𝒕𝒆𝟏: 𝑸(𝒙) com coeficiente dominante igual ao do 𝑷(𝒙) 2 3 − 2 −1 1 𝟑
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆𝒕𝒆𝟐:𝑫𝒆𝒎𝒂𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑸(𝒙) será o poduto da raiz do binômio pelo coeficiente anterior e somado com o coeficiente semelhante de 𝑷(𝒙). + 2 3 − 2 −1 1 𝟑 𝟒 ×
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 + 2 3 − 2 −1 1 𝟑 𝟒 𝟏𝟎 ×
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 + 2 3 − 2 −1 1 𝟑 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟗 ×
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 + 2 3 − 2 −1 1 𝟑 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟗 𝟑𝟗 ×
Dispositivo prático de Briot-Ruffini 𝐴 𝑥 =3𝑥4 – 2𝑥³ + 2𝑥² – 𝑥 + 1 𝐵 𝑥 =𝑥 – 2 𝑅 𝑥 =39 𝑄 𝑥 =3 𝑥 3 +4𝑥²+10𝑥+19 2 3 − 2 −1 1 𝟑 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟗 𝟑𝟗
Raiz de um polinômio A raiz de um polinômio é o valor assumido por 𝑥 que torna 𝑃(𝑥) = 0. Todo polinômio de grau 𝑛 tem exatamente 𝑛 raízes complexas.
Decomposição de polinômio Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiro grau. 𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 ∙(𝑥− 𝑟 1 )∙(𝑥− 𝑟 2 ) ∙…∙(𝑥− 𝑟 𝑛 ) onde 𝑟 1 , 𝑟 2 , ..., 𝑟 𝑛 são as raízes do polinômio e 𝑎 𝑛 é o coeficiente dominante do polinômio. 𝑃 𝑥 é divisível por cada um dos seus fatores.
Decomposição de polinômio Se 2, −3 e 5 são raízes de 𝑃(𝑥) então podemos escrever 𝑃(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² − 11𝑥 + 30 da seguinte forma: 𝑃(𝑥) = (𝑥− 2)(𝑥+ 3)(𝑥− 5)
Decomposição de polinômio Resolver a equação 𝑥³ − 8𝑥² + 29𝑥 – 52 = 0, sabendo que uma das raízes é 4. Lembrete: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 para 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0. (4 ± √-36) / 2 = (4 ±6i)/2 = 2±3i
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