Aulas 17 e 18 Limites, limites laterais, limites infinitos, assíntota vertical e propriedades do limite

Paradoxo de Zeno Numa competição, o corredor mais rápido nunca poderá superar o corredor mais lento à sua frente, posto que aquele que persegue quem está à frente, precisa primeiro alcançar o ponto de onde o perseguido saiu. Desta forma, o mais lento sempre estará estará à frente do mais veloz. Aristóteles, Phisica – VI:9 Zeno: 495 a.C. – 430 a.C.

Aquiles e a tartaruga Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga No instante inicial, a tartaruga está 100 metros à frente de Aquiles 20 40 60 80 100 120 140

Aquiles e a tartaruga Aquiles começa a correr e, após alguns Instantes, percorre os 100 metros que o separavam da tartaruga Enquanto Aquiles percorre 100 metros, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, percorre apenas 10 metros 98 100 102 104 106 108 110 120 140

Aquiles e a tartaruga Aquiles continua perseguindo a tartaruga e percorre os 10 metros que os separavam Enquanto Aquiles percorre 10 metros, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, percorre apenas 1 metro 109,8 110 110,2 110,4 110,6 110,8 111 111,2

Aquiles e a tartaruga Aquiles continua perseguindo a Tartaruga, percorrendo a distância que os separa Enquanto Aquiles percorre a distância que os separa, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, avança 1/10 dessa distância posição anterior + a distância que separava Aquiles da tartaruga posição anterior + 1/10 da distância que separava Aquiles da tartaruga

Aquiles e a tartaruga Enquanto Aquiles percorre a distância que o separa da tartaruga, a tartaruga, muito mais lenta, avança um pouco. Assim, mesmo que por uma pequena porção de espaço, a tartaruga estará sempre à frente de Aquiles.

Aquiles e a tartaruga Logo, por mais que Aquiles tente alcançar a tartaruga, percorrendo a distância que os separa - posto que durante o tempo que Aquiles leva para avançar esta distância, a tartaruga também se move . Aquiles NUNCA alcançará a tartaruga !

Aquiles e a tartaruga Como sabemos que Aquiles acabará alcançando a tartaruga, há algo que está nos confundindo. O que é?

Aquiles e a tartaruga A solução está em calcular o comprimento total do caminho percorrido pela tartaruga. Quem sabe dizer qual é este comprimento? Calcule, em seguida, o tempo necessário para percorrê-lo, sabendo que a velocidade da tartaruga é constante. Quem sabe calcular o referido tempo? O que isso significa?

Comprimento do caminho

Paradoxo de Zeno O paradoxo de Zeno é um dos primeiros exemplos históricos sobre o problema dos limites. Nesse curso aprenderemos a entender o que o conceito de limite significa. Vamos começar com trêis exemplos.

Exemplo 1 B n A

Exemplo 1 B n A

Exemplo 1 B n A

Exemplo 1 B n A É possível mostrar que

Exemplo 1 B n A

Exemplo 1 Podemos assim dizer que o “limite” da soma das áreas dos retângulos, quando o comprimento da base de cada retângulo “tende” a zero, é igual à área do trapézio. Escreve-se

Exemplo 1 Podemos também dizer, equivalentemente, que o “limite” da soma das áreas dos retângulos, quando o número dos retângulos “tende” a infinito, é também igual à área do trapézio. Escreve-se

Gráfico para b

Gráfico para n

Limites Uma esfera, como uma bola, pode ter sua forma aproximada por uma coleção de pentágonos e hexágonos justapostos

Exemplo 2 Uma circunferência pode ser aproximada por uma seqüência de polígonos regulares inscritos na circunferência. Quanto maior o número de lados, mais “próximo” da circunferência o polígono estará. Assim, por exemplo, o octógono (polígono de 8 lados), desenhado em verde ao lado, está “mais próximo” da circunferência do que está o quadrado, desenhado em azul.

Exemplo 2 Poderíamos dizer, em linguagem informal, que “o limite dos polígonos regulares de n lados, inscritos na circunferência, é igual à própria circunferência”, quando o número de lados n for muito grande ou “tender a infinito”. Isto é

Exemplo 2 Assim, se soubermos calcular o perímetros de tais polígonos, poderemos ter uma boa aproximação do comprimento da circunferência. Vamos começar com o cálculo do perímetro do quadrado inscrito na circunferência.

Exemplo 2 Considere o triângulo cujos vértices são: O, o centro do círculo e P, Q, dois vértices consecutivos do quadrado. Os lados deste triângulo são dois raios da circunferência e um lado do quadrado.

Exemplo 2 Note que o ângulo do triângulo formado pelos raios da circunferência mede

Exemplo 2 Trace, agora, o segmento que une o centro da circunferência ao ponto médio do lado do triângulo dado pelo lado do quadrado. Obtém-se assim um triângulo menor ,

Exemplo 2 O triângulo tem o ângulo

Exemplo 2 Assim o perímetro p(4) é dado por Em geral temos

Exemplo 2 (R = 4)

Exemplo 3 Suponha uma placa de alumínio quadrada, que quando aquecida, expande uniformemente de acordo com a animação a seguir .

Aquecedor

Exemplo 3 Se é o comprimento do lado do quadrado, logo a área da placa é calculada por .

Exemplo 3 Evidentemente , quando mais o valor de se aproxima de mais o valor da área se aproxima a , isto é,

Exemplo 3 Expressamos isto dizendo que quando se aproxima de , se aproxima de como um limite. Simbolicamente escrevemos: Onde a notação“ ” indica tende a e “ ” significa o limite de.

??Questionamento?? Será que, à medida que se aproxima de um número real , então fica cada vez mais próxima de algum número real ?

??Questionamento?? Se a resposta for afirmativa, dizemos que limite de ,quando tende para , é igual a .

Limite de Função Se é uma função e é um ponto de acumulação do domínio da aplicação, entende-se a notação como o limite de quando tende é , isto é, se aproxima do número quando tende a , isto é,

Limite de Funções

Limite de Funções

Limite de Funções

Investigação Qual o possível resultado para o seguinte limite , sendo a função constante e um ponto qualquer do domínio.

Solução Em primeiro lugar, vamos visualizar a a representação geométrica do gráfico da função constante , supondo que o valor de seja positivo.

Representação Geométrica

Conclusão Observe que para todo valor de próximo de , teremos . Sendo assim podemos concluir que

Formalizando Se é uma função constante definida por , então para todo .

Investigação Qual o possível resultado para o seguinte limite , sendo a função identidade e um ponto qualquer do seu domínio.

Solução Em primeiro lugar, vamos a visualizar a representação geométrica do gráfico da função identidade.

Idéia da Representação Geométrica

Formalizando Se é a função identidade , então para todo .

Atividade Considere tal que . Determine . No processo investigativo vamos construir uma tabela com valores menores e maiores que .

Tabela

Representação Geométrica

Formalizando Se definida por é a função polinomial do 1º grau, então para todo sendo e .

Representação Geométrica

Limite da Função Polinomial Se definida por é a função polinomial de grau n, então para todo sendo para todo

Exemplos

Limite no Infinito

Limite no Infinito

Limite Infinito

Limite Infinito

Limite Infinito

Limite Infinito

Formalizando Se definida por , então:

Formalizando

Atividade Determine caso exista os limites abaixo:

Atividade Determine caso exista os limites abaixo: