Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . a A B C b c cateto hipotenusa (Â é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos. Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. C B A b c a h m n H h: medida da altura relativa à hipotenusa; m: medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa; n: medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa.

Teorema ou relação de Pitágoras Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um caso particular: 5 a c b C B A 4 3 a = 5 b = 4 c = 3 b2 a2 = + c2 A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada: a2 = b2 + c2 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).

Demonstração do teorema de Pitágoras Existem muitas formas de demonstrar esse teorema. Vejamos uma delas, baseada na semelhança de triângulos. Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura relativa à hipotenusa. C B A b c a h m n H Temos que: a = m + n 1

Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC. Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os lados correspondentes. c h m b a O que eles têm em comum? Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum. Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA. c2 = am 2 = ah = bc 3 ch = bm 4

Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC. Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum. Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são semelhantes. b2 = an 5 b2 + c2= an + am b2 + c2= a(n + m) bh = nc 6 c2 = am 2 Como, a = m + n 1 ah = bc 3 Então, b2 + c2= a2

Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo H B c h m A Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes. C H h b n Logo, = De , obtemos que . = h2 = mn Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram estabelecidas outras relações: c2 = am b2 = an O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Também da demonstração, temos outra relação: ah = bc 3 Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: h2 = mn a = m + n ah = bc a2 = b2 + c2 c b h c2 = am b2 = an m n a

Aplicações importantes do teorema de Pitágoras Diagonal de um quadrado Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ? ℓ A B C D d ℓ O triângulo ADC é retângulo em D. Podemos aplicar então o teorema de Pitágoras: d2 = 2 + 2 ℓ d2 = 2 2 ℓ d = ℓ 2 d = ℓ Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da medida de um lado por .

Altura de um triângulo equilátero Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ? A B C h H ℓ O triângulo ABH é retângulo em H. Vamos aplicar o teorema de Pitágoras: h2 + = ℓ 2 ℓ h = ou 2 ℓ h2 = 2 _ 2 ℓ h = ou ℓ h2 = 2 ℓ h = . ℓ Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um lado por .

Diagonal de um bloco retangular Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b, c, a diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco mede D. O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D, mas para calculá-la precisamos encontrar o valor de d. A B C I E F H D d a b c Aplicando o teorema de Pitágoras: d2 = a2 + b2 D2 = d2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2 D = Caso particular: diagonal do cubo A B C D I F H G E d ℓ O cubo é um caso particular do bloco retangular em que a = b = c = ℓ; assim: = D = ℓ 2 + 2 + 2 ℓ2

Triângulo inscrito numa semicircunferência Quando um dos vértices de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está inscrito numa semicircunferência. A A B C O B C O Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é triângulo retângulo.

Outras situações que envolvem as relações métricas no triângulo retângulo Os ternos pitagóricos Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos. Tente pensar em um terno pitagórico! Os mais conhecidos são: 3,4,5 5 3 5, 12, 13 4

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados. Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior. Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos: Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo. Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo obtusângulo. Se a2 < b2 + c2, temos um triângulo acutângulo.

Relações métricas na circunferência D B A P Relações métricas na circunferência Relação entre duas cordas de uma circunferência Na circunferência ao lado, e são duas cordas que se cruzam no ponto P. Considerando os triângulos APC e DPB, temos: ângulos inscritos de mesmo arco ângulos opostos pelo vértice Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo, = Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes de outra. AP . BP = CP . DP Assim, demonstramos que:

Relação entre dois segmentos secantes a uma circunferência B D C P Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa. Ou seja, PA . PB = PC . PD

Observando os triângulos PAC e PBA, temos: Relação entre um segmento secante e um segmento tangente a uma circunferência Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento tangente e um segmento secante . A B C P Observando os triângulos PAC e PBA, temos: ângulo comum ângulo de segmento e ângulo inscrito de mesmo arco

Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados homólogos têm medidas proporcionais: = (PA)2 = PB . PC Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um segmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante pela medida da sua parte externa.

A ideia de tangente tg = = índice de subida percurso altura afastamento tg = = índice de subida

A ideia de seno percurso altura sen =

A ideia de cosseno percurso afastamento cos =

Definição de seno, cosseno e tangente por semelhança tg θ(0º < θ < 90º)

Relações entre seno, cosseno e tangente Relação fundamental Links para ambiente online sen2 + cos2 = + = = = 1

Relações entre seno, cosseno e tangente Outras relações = = : = . = = tg = tg β tg = = = tg = sen = = cos β cos = = sen β

Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º sen cos tg 30° 45° 60° 1

Lei dos cossenos a2 = h2 + (b – x)2 a2 = h2 + b2 – 2bx + x2 (I) Substituindo h2 de (II) em (I), temos: a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2 a2 = b2 + c2 – 2bx c2 = h2 + x2 Como x = c . cos Â, temos: a2 = b2 + c2 – 2b . cos  para ângulos agudos. h2 = c2 – x2 (II)

Lei dos cossenos a2 = h2 + (b + x)2 a2 = h2 + b2 + 2bx + x2 (I) Substituindo h2 de (II) em (I), temos: a2 = c2 – x2 + b2 + 2bx + x2 a2 = b2 + c2 + 2bx c2 = h2 + x2 h2 = c2 – x2 (II) Como x = c . cos BÂH e o cosseno de um ângulo é igual ao oposto do cosseno do seu suplemento (cos  = –cos(180º – Â)), temos: a2 = b2 + c2 + 2b . c . cos BÂH ou a2 = b2 + c2 – 2bc . cos  para ângulos obtusos.

Lei dos senos Se traçarmos a altura relativa ao ângulo , obteremos: sen  = ou h = c . sen  sen = ou h = a . sen Portanto: Então, c . sen  = a . sen

Lei dos senos Considerando a altura relativa ao ângulo sen = ou h = a . sen chegamos a: sen (180º – Â) = e como sen (180º – Â) = sen Â, então sen  = ou h = c . sen  Então: a . sen = c . sen  Portanto:

Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência ℓ Cada um desses triângulos isósceles tem ângulos de 72˚, 54˚ e 54˚. Cada um dos cinco triângulos obtidos é isósceles, com lados medindo r, r e ℓ. Cada ângulo central mede 72˚, medida que se obtém fazendo 360˚ : 5. Ligando o centro O a todos os vértices, obtemos cinco triângulos. A altura de cada um desses triângulos isósceles é chamada de apótema do polígono regular. O apótema é também mediana e bissetriz, pois os triângulos são isósceles.

Generalizações: hexágono, quadrado e triângulo regulares Triângulo equilátero ℓ6 = r Quadrado , pois o triângulo é equilátero. 4 = cos 30˚ = = 3 = 2a6 = a4 = = a3 = a6 =