Método dos Elementos Finitos

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Transcrição da apresentação:

Método dos Elementos Finitos Teoria Eletromagnética IIC Prof. Antonio Lopes de Souza, Ph.D. (Modelo estrutural em elementos finitos do Cubo d’Água de Pequim)

Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo Solução Analítica: solução na forma de uma equação algébrica explícita, na qual todos os valores dos parâmetros do problema podem ser substituídos. Ex.: campo elétrico da carga pontual Vantagens das soluções analíticas: são exatas e tornam mais fácil observar o comportamento da solução em função da variação dos parâmetros do problema. Desvantagem: somente são possíveis para problemas com configurações simples e elevado grau de simetria. Figura 2 - Linhas de força do campo elétrico de um sistema de duas cargas pontuais

Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo Solução não Analítica: é usada quando a complexidade do problema torna difícil a obtenção de uma solução analítica por métodos matemáticos tradicionais. Os procedimentos não-analíticos incluem Métodos gráficos Métodos experimentais Métodos numéricos Os métodos gráficos e experimentais são aplicados a um número reduzido de problemas e têm utilidade limitada. Os métodos numéricos mais usados são: Método das Diferenças Finitas (FDM - Finite Diference Method) Método dos Momentos (MOM - Method of Moments) Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Diference Method)

Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo Solução Não-analítica: exemplo Figura 3 - Visualização da deformação de um carro em um choque assimétrico usando o método dos elementos finitos (imagem: Wikimedia Commons)

Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Element Method) é uma técnica numérica usada para encontrar a solução de Equações Diferenciais Parciais (PDE). Ele surgiu na década de 40 do século passado e era usado para resolver problemas estruturais nas engenharias civil e aeronáutica. Os primeiros trabalhos sobre o método foram publicados por Alexander Hrennikoff (1) (1941) e Richard Courant (2) (1942). O uso do método para a soluções de problemas de eletromagnetismo data de 1968 (3). (1) A. Hrennikoff; “Solution of Problems of Elasticity by the Frame-Work Method” (1941); ASME J. Appl. Mech. 8; A619–A715. (2) Courant, R.L;“Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibration”;Bulletin of the American Mathematical Society 49:1-23 (1943) . (3) P.P.silvester e R.L.Ferrari; Finite Elements for Electrical Enginiers, Cambridge, England, Cambridge University Press, (1983). Figura 5: Solução bidimensional de um problema de magetostática mostrando a direção (as linhas) e a intensidade (cores) da densidade de fluxo magnético. (imagem: Wikimedia Commons). Esquerda: Malha do problema Direita: Solução gráfica do problema

Método dos Elementos Finitos Etapas na modelagem de um problema através do Método dos Elementos Finitos: Descrição geométrica da região; Geração de uma malha de elementos interconectados por nós; Definição das equações diferenciais parciais e respectivas condições de contorno do problema; Solução numérica do sistema algébrico resultante; Pós-processamento de resultados e visualização

Método dos Elementos Finitos Sequência na apresentação do método: Discretização do domínio em um número finito sub-regiões ou elementos. Obtenção das equações que regem um elemento típico. Conexão de todos os elementos no domínio. Resolução do sistema de equações obtido.

Método dos Elementos Finitos 1- Discretização A representação do domínio: o domínio é dividido em regiões (elementos) que não se sobrepõem. Buscamos uma aproximação para o potencial Ve dentro de um elemento. Inter-relacionamos as distribuições de potencial em vários elementos de tal modo que ela seja contínua através dos contornos entre os elementos relacionados. A solução aproximada do potencial para o domínio em estudo é do tipo: Onde N é o número de elementos triangulares nos quais o domínio foi dividido Figura 6 – elemento triangular com a indicação dos nós e tensões de nós. A orientação dos nós segue o sentido anti-horário.

Método dos Elementos Finitos 1- Discretização Representação do potencial no interior do elemento: quando o elemento tem a forma triangular a forma mais comumente usada para representar o potencial Ve no seu interior é a aproximação polinomial Quando o elemento for quadrangular a aproximação para representar Ve é dada por: De um modo geral usamos elementos triangulares para problemas bidimensionais porque esses permitem representar fronteiras irregulares com maior precisão. Supomos que o potencial varia linearmente dentro do elemento. Isso implica em considerar o campo elétrico é uniforme dentro de um mesmo elemento. Como os potenciais respeitam a equação de Laplace a distribuição de energia do campo elétrico é mínima na região.

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos O elemento usado tem a forma triangular abaixo mostrada: O potencial no seu interior é representado por: Aplicando a equação aos três vértices do elemento temos:

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Representando o sistema de equações anterior na forma matricial temos: Onde a matriz É denominada “matriz dos coeficientes”

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Os coeficientes a,b,c podem ser calculados a partir da equação anterior como: E usando a regra de CRAMER Onde D é o determinante da matriz dos coeficientes dado por

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos É possível mostrar que a área A do triangulo que representa o elemento é dada por: Ou seja: (Os nós devem ser numerados no sentido anti-horário para evitar que a área do elemento, acima calculada em função das coordenadas dos vértices, produza um valor negativo)

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Substituindo o valor D=2A em a,b,e c e resolvendo os determinantes temos:

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos As equações anteriores podem ainda ser colocadas na forma matricial como: Lembrando a forma matricial da equação que descreve as distribuições de potencial,

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Substituindo as expressões matriciais para a, b e c na equação matricial que descreve as distribuições de potenciais no elemento temos: Expandindo a equação acima temos: Ou seja:

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos e a1, a2 e a3 são funções lineares de interpolação que permitem a obtenção dos potenciais Ve(x,y) dentro do elemento finito em termos dos potenciais nos nós do mesmo elemento. Elas são denominadas “Funções de Forma dos Elementos”. Desse modo a função nos dá o potencial em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento finito, desde que os potenciais nos vértices sejam conhecidos.

Cálculo da Energia Armazenada no Elemento Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos As funções de forma do elemento satisfazem as seguintes propriedades: Cada uma das três funções de forma se anula em todos os vértices com exceção de um no qual assume o valor unitário. Cálculo da Energia Armazenada no Elemento Quando a quantidade analisada é o potencial eletrostático a energia do campo elétrico é o funcional a ser utilizado porque o potencial eletrostático minimiza esta energia. A energia do campo elétrico por unidade de comprimento normal às duas dimensões (ou seja, na direção z) pode ser obtida por:

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos A função de energia pode ser expandida como abaixo: Onde O produto escalar produzirá termos cruzados (ver o detalhamento no texto disponível na pasta do curso – pasta 187 ) e isso permitirá colocar a função de energia na forma abaixo: Denominando (O termo Cij(e) pode ser considerado como o acoplamento entre os nós i e j)

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos A equação da energia armazenada no campo elétrico onde é o acoplamento entre os nós i e j pode ser escrita na forma matricial como: onde A matriz C(e) é denominada “Matriz dos Coeficientes do Elemento”

Cálculo dos Termos da Matriz dos Coeficientes do Elemento Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Cálculo dos Termos da Matriz dos Coeficientes do Elemento Cálculo de C12(e) Precisamos calcular E resolvendo a integral temos que

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Logo: Os outros coeficientes podem ser calculados de modo semelhante Usando a notação: Podemos escrever

Método dos Elementos Finitos 2- Equações que regem os elementos Em resumo: para a obtenção da função potencial no elemento é necessário conhecer as funções de forma a1, a2 e a3 cujo cálculo depende do valor das coordenadas dos vértices do elemento triangular. O cálculo da energia do elemento pode ser feito Onde Como todos os elementos são escritos em função das diferenças entre as coordenadas podemos definir novas variáveis P e Q como abaixo As novas variáveis satisfazem as seguintes propriedades:

Método dos Elementos Finitos 3- Conexão de todos os elementos Após a análise de um elemento típico o próximo passo é a conexão de todos os elementos. A energia associada à conexão de todos os elementos da malha é o somatório das energia armazenadas nos elementos: onde Nas equações acima “N” é o número de elementos e “n” é o número de nós. A matriz [C ] é denominada Matriz de Rigidez Global e representa a conexão das matrizes dos coeficientes dos elementos individuais. Não confundir [C] com [C(e)]. Os coeficientes Cij são obtidos observando-se o fato de que os potenciais devem ser contínuos através dos contornos dos elementos

Método dos Elementos Finitos 3- Conexão de todos os elementos Considere a malha de três elementos abaixo: Numeração global: 1,2,3,4,5 (nós da malha, qualquer ordem) Numeração local: 1,2,3 (vértices do elemento, sempre no sentido anti-horário para evitar que a área fique negativa) Para o elemento 3 a numeração global 3,4,5 corresponde à numeração local 1,2,3 respectivamente.

Método dos Elementos Finitos 3- Conexão de todos os elementos Como a malha tem cinco nós globais a matriz de rigidez global é do tipo 5x5. Note que a matriz de rigidez global é a superposição de todas a matrizes dos elementos. Como muitos potenciais são iguais, vários termos da matriz se superpõem de modo que a mesma fica reduzida a uma matriz de estrutura nxn, onde n é o número de nós globais. Para obter o termo C11 notamos que o nó global 1 pertence aos elementos1 e 2. Notamos, também que os nós locais que fazem parte do nó global 1 são os nós locais 1 de ambos os elementos, logo: Já o coeficiente C14 é calculado lembrando que a fronteira global 1-4 contem as fronteiras 1-2 do elemento 1 e 1-3 do elemento 2, então:

Método dos Elementos Finitos 3- Conexão de todos os elementos Quando não há acoplamento entre os nós referenciados no termo o mesmo é nulo, como no caso do termo C15, já que não há conexão direta entre os nós 1 e 5. Desse modo a matriz de rigidez global fica como: A matriz de rigidez global é simétrica (Cij =Cji) e o determinante formado por seus termos é nulo.

Método dos Elementos Finitos 4 - Resolução das equações resultantes Do cálculo variacional temos que a equação de Laplace é satisfeita no domínio quando a energia total no mesmo é mínima. Portanto é necessário que as derivadas de W em relação ao potencial de cada nó sejam zero. Isso permite estabelecer um sistema de equações que nos levará ao cálculo dos potenciais dos nós globais V1, V2, V3 ...Vn, onde n é o número de nós globais.

Método dos Elementos Finitos 4 - Resolução das equações resultantes Temos que a energia elétrica armazenada em todo o domínio é dada por: Onde a matriz dos potenciais dos nós globais é dada por Desmembrando a equação da energia temos, para o exemplo tomado com três elementos e cinco nós globais:

Método dos Elementos Finitos 4 - Resolução das equações resultantes O produto das matrizes [C] e [V] gera uma matriz coluna como abaixo mostrada:

Método dos Elementos Finitos 4 - Resolução das equações resultantes mas como C12=C21 temos como Ou no geral: Dese modo obtemos um conjunto de equações que pode ser resolvido para obter V1, V2, V3, V4, V5

Método dos Elementos Finitos 4 - Resolução das equações resultantes FIM