Limite e Continuidade
Noção Intuitiva Sucessões numéricas Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x 1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite x - Os termos oscilam sem tender a um limite
Limites Intuitivos < = < >
Definição de Limites Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos
Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figures 1.13: Um
se para todo > 0, existe um número correspondente > 0 , tal que |x-a|< |f(x)-L|< , para todos os valores de x.
Figura 1.11: Relação entre e na definição de limite.
Propriedades dos Limites Se L, M, a, c são números reais e n inteiro e
Regra da soma(subtração): Regra do Produto: Regra da multiplicação por escalar: Regra do quociente:
Regra da potencia: Regra da raíz se é impar.
Regra do logaritmo: Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno) Regra da exponencial:
Limites de Funções Polinomiais Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se então
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
Limites de Funções Racionais Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se e são polinômios e , então
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1: Se x 1
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:
Fator comum de h. Cancelar h para h 0. Então,