RAZÃO E PROPORÇÃO (Aula 3) MATEMÁTICA Londrina (PR) – Maringá (PR) RAZÃO E PROPORÇÃO (Aula 3) Prof.Rafael Pelaquim Ano 2011 Aulas 100% presenciais

RAZÃO Sejam dois números reais a e b, com b 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b ou . O número a é denominado antecedente e b é o consequente.

RAZÃO Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possível, torna-los inteiros. EXEMPLOS: A razão entre 0,25 e 2.

RAZÃO Na fila de um guichê de venda de ingressos em um estádio de futebol, havia 48 torcedores, sendo 20 palmeirenses e 28 corintianos. A razão entre o número de palmeirenses e o número de corintianos é . .

PROPORÇÃO PROPORÇÃO é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Essa proporção pode ser lida da seguinte forma: a está para b assim como c está para d.

PROPORÇÃO Em uma proporção qualquer do tipo , os números a e d são chamados de extremos e os números b e c são chamados de meios. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

QUARTA PROPORCIONAL QUARTA PROPORCIONAL de três números dados a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros três uma proporção tal que:

QUARTA PROPORCIONAL EXEMPLO: Determinar a quarta proporcional dos números 3, 4 e 6 nesta ordem.

PROPORÇÃO CONTÍNUA Uma proporção é chamada de contínua quando b = c, ou seja, quando os meios são iguais. EXEMPLO:

PROPORÇÃO CONTÍNUA Em uma proporção contínua temos: O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos. O último termo é chamado terceira proporcional.

PROPORÇÃO MÚLTIPLA PROPORÇÃO MÚLTIPLA é a igualdade simultânea de três ou mais razões. EXEMPLO:

RAZÕES INVERSAS RAZÕES INVERSAS são duas razões cujo produto é igual a 1. EXEMPLOS: OBSERVAÇÃO: Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.

DIVISÃO PROPORCIONAL GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, …), dizemos que esses valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, …), quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Em outras palavras, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS EXEMPLO: Os valores 6, 7, 10 e 15, nessa ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois: Nesse caso, ½ é o fator de proporcionalidade.

DIVISÃO PROPORCIONAL GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, …) todos diferentes de zero, dizemos que esses valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, …), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS EXEMPLO: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20 12 e 5, nessa ordem, pois os produtos 2 . 30 , 3 . 20, 5 . 12 e 12 . 5 são todos iguais.

RELAÇÃO ENTRE PROPORÇÃO INVERSA E PROPORÇÃO DIRETA Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente proporcionais aos números da outra, então os números delas serão diretamente proporcionais aos inversos dos números da outra.

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcional está para a parte que a representa. EXEMPLO: Dividir o número 72 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5.

DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c, …, significa encontrar os números A, B, C, …, tais que a * A = b * B = c * C = … e A + B + C + … = N

DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS EXEMPLO Dividir o número 72 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12.

DIVISÃO COMPOSTA DIRETA Chamamos de DIVISÃO COMPOSTA DIRETA à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma.

DIVISÃO COMPOSTA DIRETA Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos: Encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o produto dos valores correspondentes das sucessões dadas; Efetuar a divisão do número em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucessão.

DIVISÃO COMPOSTA DIRETA EXEMPLO Dividir o número 270 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente.

DIVISÃO COMPOSTA MISTA Chamamos de DIVISÃO COMPOSTA MISTA à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada.

DIVISÃO COMPOSTA MISTA Para efetuarmos a divisão composta mista, devemos: Inverter os valores da sucessão que indica proporção inversa, recaindo assim num caso de divisão composta direta; Aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divisões compostas diretas.

DIVISÃO COMPOSTA MISTA EXEMPLO Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente.