Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial Aula 03 Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial

Vetores colineares Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção.

Vetores LDs Isso acontece se, e somente se, existe um número real tal que ou . Diremos, então, que um vetor é escrito como combinação linear do outro, e neste caso, os vetores e são ditos linearmente dependentes.

Vetores LIs Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são linearmente independentes. Neste caso os dois vetores não são colineares mas são coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a um mesmo plano .

Vetores LIs Se e são linearmente independentes, então, todos os vetores da forma podem ser representados sobre um mesmo plano, e reciprocamente.

Vetores LIs Toda combinação linear de dois vetores LIs pode ser representada sobre o plano . Por essa razão, se os dois vetores são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano.

Componentes de um vetor Se um vetor se escreve como uma combinação linear , diremos que os vetores e são componentes do vetor na direção dos vetores e . Os escalares e são as coordenadas de em termos aos vetores e .

Três vetores coplanares Se os vetores , e possuem representantes pertencentes em um mesmo plano , dizemos que eles são coplanares.

Observação Dois vetores quaisquer são sempre coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes pertencendo a um plano que passa por esse ponto. Três vetores podem ser ou não complanares.

Obeservação

Base Se três vetores do espaço são linearmente independentes, então eles geram o espaço. Um conjunto de três vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espaço dos vetores. A base que consiste dos vetores , e , nessa ordem, será indicada por .

Base ortonormal Uma base chama-se ortogonal se os seus vetores são mutuamente ortogonais, isto é, se Se, além disso, os vetores são unitários, a base chama-se ortonormal.

Base canônica A base canônica do espaço tridimensional é formada pelos vetores , e , ou seja, é uma base ortonormal. Todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Exemplo Dados e determine: a) b) c) d) Solução:

Produto vetorial Nós iremos definir agora um tipo de multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional.

Definição Se e são vetores no espaço tridimensional, então o produto vetorial é o vetor definido por ou em notação de determinante,

Observação Em vez de memorizar as fórmulas, você pode obter os componentes de como segue: Forme a matriz 2 x 3 dada por cuja primeira linha contém os componentes de U e cuja segunda linha contém os componentes de V.

Observação Para obter o primeiro componente de , descarte a primeira coluna e tome o determinante; Para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante; Para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante.

Exemplo Se e calcule e . Solução:

Abuso de notação O produto vetorial de e pode ser representado simbolicamente como um determinante 3x3:

Exemplo Se e calcule . Solução:

Observação Os vetores canônicos satisfazem:

Propriedades do Produto Vetorial Sejam U, V e W vetores no espaço e  um escalar.

Relações entre Produtos Escalar e Vetorial Sejam U e V vetores do espaço, então:

Observação mostram que o vetor é ortogonal simultaneamente a e a . De obtemos

Regra da mão direita Se e são vetores não-nulos, pode ser mostrado que o sentido de pode ser determinado usando a "regra da mão direita"!

Resumindo Se U e V são vetores não-nulos, então: I) O vetor é ortogonal simultaneamente a e a . II) III) O sentido de pode ser determinado usando a “regra da mão direita”.

Interpretação Geométrica do Produto Vetorial

Exemplo Calcule a área do triângulo de vértices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3). Solução:

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