A Transformada de Laplace Prof. Iury V. de Bessa Departamento de Eletricidade Faculdade de Tecnologia Universidade Federal do Amazonas
Introdução A Transformada de Fourier é capaz de representar funções não-periódicas no domínio da frequência No entanto, não se pode representar todos os tipos de funções. Ex.: 𝑓 𝑡 = 1−𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0≤𝑡≤1 1+𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎−1≤𝑡≤0 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡>1 𝑜𝑢 𝑡<−1 𝐺 𝜔 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝜔 2 1− cos 𝜔 Indeterminado para 𝝎=𝟎
Introdução Lembrando que 𝐻 𝑗𝜔 é um caso particular da função de circuito 𝐻 𝑠 , onde 𝑠=𝜎+𝑗𝜔 O problema mostrado anteriormente poderia ser resolvido incluindo 𝑒 −𝜎𝑡 na integral de Fourier: 𝐺 𝑠 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝜎𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝐺 𝑠 = 𝑒 −𝑠 + 𝑒 𝑠 −2 ⋅ 1 𝑠 2 A generalização do procedimento supracitado é a ideia geral da Transformada de Laplace
A transformada direta de Laplace Substituindo 𝑗𝜔 da transformada de Fourier por 𝑠=𝜎+𝑗𝜔: 𝐹 𝑠 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =ℒ 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 = 1 2𝜋𝑗 𝜎−𝑗∞ 𝜎+𝑗∞ 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠= ℒ −1 𝐹 𝑠 Como já visto anteriormente, a resposta a uma entrada do tipo 𝑒 𝑠𝑡 pode ser facilmente determinada Transformada direta de Laplace Transformada inversa de Laplace
Pares de transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
A transformada inversa de Laplace Existem dois métodos principais para a extração de ℒ −1 𝐹 𝑠 Expansão de 𝐹 𝑠 em frações parciais: 𝐹 𝑠 = 𝐹 1 𝑠 + 𝐹 2 𝑠 +…+ 𝐹 𝑛 𝑠 ℒ −1 𝐹 𝑠 = ℒ −1 𝐹 1 𝑠 + ℒ −1 𝐹 2 𝑠 +…+ ℒ −1 𝐹 𝑛 𝑠 Resolução da integral complexa 1 2𝜋𝑗 𝜎−𝑗∞ 𝜎+𝑗∞ 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠: ℒ −1 𝐹 𝑠 = 1 2𝜋𝑗 𝜎−𝑗∞ 𝜎+𝑗∞ 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠 ℒ −1 𝐹 𝑠 = 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐹 𝑠 Res 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 Ou ainda: ℒ −1 𝐹 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 1 𝑚 𝑖 −1 ! ⋅ 𝑑 𝑑𝑠 𝑠− 𝑝 𝑖 𝑚 𝑖 ⋅𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑠= 𝑝 𝑖 Obtidos através da tabela Onde 𝒑 𝒊 é o 𝒊-ésimo polo de 𝑭 𝒔 com multiplicidade 𝒎 𝒊