Material de Apoio Interacção Gravítica

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo referencial do CM de M distância do CM de m ao CM de M equação do movimento pode ser obtida uma equação mais simples, recorrendo à expressão da energia mecânica que se conserva

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo referencial do CM de M vector constante equação do movimento + : movimento de afastamento, distância aumenta com o tempo - : movimento de aproximação, distância diminui com o tempo

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo constante integral com solução analítica, embora complicada expressão analítica para o vector posição: conhecida a posição de m m atinge distância máxima e reaproxima-se, não escapa ao campo gravítico m atinge o  com velocidade = 0, escapa ao campo gravítico m atinge o  com velocidade > 0, escapa ao campo gravítico

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo referencial do CM de M distância e direcção variam com o tempo derivando em ordem ao tempo obtem-se (E e L são constantes)

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtem-se a equação referencial do CM de M equação do movimento que não tem solução analítica é sempre possível resolução numérica-computacional MAS é possivel obter uma equação para a trajectória com solução analítica trajectória plana : posição determinada apenas por 2 coordenadas : r e q obtem-se expressão analítica para a função r (q)

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) defina-se a variável pelo que que inserindo na equação do movimento conduz a:

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) inserindo na equação do movimento constante equação diferencial já conhecida equação do oscilador harmónico com W=1 solução analítica muito simples = 0 por ajuste do sistema de eixos a determinar em função das constantes do movimento E e L

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) definindo relembrando cáculo de d=1/A e e=A/r0 em função de E e L

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) assim introduzindo na equação da energia conduz a dividindo por e relembrando que

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) assim parâmetros da cónica expressos em função das quantidades do movimento E e L equação geral da cónica e – excentricidade d - distância do foco F à directriz D o que define uma cónica: a razão das distâncias de qualquer ponto P ao foco e à directriz é igual à excentricidade e cónica distância de P ao foco distância de P à directriz

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r(q) as 3 cónicas E < 0  e < 1 – cónica é uma elipse: m não tem energia para escapar ao campo gravítico de M  trajectória fechada E = 0  e = 1 – cónica é uma parábola: m tem energia (mínima) para escapar ao campo gravítico de M  trajectória aberta E > 0  e > 1 – cónica é uma hipérbole: m tem energia para escapar ao campo gravítico de M  trajectória aberta foco da cónica encontra-se na origem do referencial origem do referencial é o CM de M, a massa que cria o campo gravítico a que m está sujeita : centro da força foco da cónica está no CM de M

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: parábola e = 1 equação cartesiana de uma parábola com vértice V em (d/2,0) no vértice V tem-se: relaciona as distâncias do foco ao vértice e do foco à directriz O foco é o centro da força

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: elipse e < 1 a - semieixo maior b - semieixo menor equação cartesiana de uma elipse com centro O em (-c,0) e = 0 (a = b) : circunferência O foco é o centro da força

Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: hipérbole e > 1 equação cartesiana de uma hipérbole com centro O em (c,0) Nota: o ramo direito da hipérbole seria a trajectória se no foco estivesse o centro de uma força repulsiva O foco é o centro da força

Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 1ª Lei : todos os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas com o sol num dos focos planetas não escaparam ao campo gravítico do sol  descrevem trajectórias fechadas com E < 0 elipses são as únicas soluções da equação do movimento com E < 0 Sol no foco: centro da força V1- periélio: ponto de menor distância do planeta ao Sol, (a-c), menor Ep, maior velocidade V2- afélio: ponto de maior distância do planeta ao Sol, (a+c), maior Ep, menor velocidade

Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 2ª Lei : o vector , definido pelo sol e planeta, varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais porque dq é infinitesimal área varrida por em dt planeta área do triângulo rectângulo: ângulo recto em P constante do movimento taxa de varrimento é constante

Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 3ª Lei : o quadrado do período de revolução em torno do sol é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse a área total varrida num período = área da elipse constante de proporcionalidade

Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 3ª Lei numa órbita circular sol força gravítica é puramente normal

Material de apoio: interacção gravítica Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico elipse tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do eixo: O- centro da elipse troço de elipse que se confude com uma parábola superfície da Terra F- foco: CM da Terra origem do referencial parábola de vértice em (a-c,0)

Material de apoio: interacção gravítica Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico hipérbole tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do eixo: troço de hipérbole que se confude com uma parábola superfície da Terra F- foco: CM da Terra origem do referencial parábola de vértice em (c-a,0)