TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos Função resposta em frequência e resposta impulsional Funçao resposta em frequência e equação diferencial

Motivação SLIT Particularização da transformada de Laplace ao eixo imaginário do plano Espectro de frequência

Definição Exponencial direita para Alternativa

Espectro de frequência da exponencial real

Definição

Condições de Dirichlet Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier: 1. é absolutamente integrável, i.e., possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito. Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que

Exemplos 1. sinal de energia finita 2. sinal de energia infinita sinal de potência média finita 3. sinal de potência média finita

Sinais periódicos Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ? Ex. 1 Ex. 2

Sinais periódicos Série de Fourier do sinal periódico TF Combinação linear de exponenciais complexas de período TF é periódico com período e, portanto, com frequência fundamental Coeficientes da série de Fourier:

Série de Fourier Ex. 1

Série de Fourier Ex. 2 Onda quadrada

Série de Fourier vs.Transformada de Fourier Ex. 2 Onda quadrada (cont.)

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P1. Linearidade Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P2. Translação no Tempo Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P3. Translação na Frequência Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P4. Mudança de Escala Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P5. Convolução Convolução circular: Ex. periódico com período

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P6. Diferenciação no Tempo Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P7. Diferenciação na Frequência P8. Integração no Tempo Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P9. Simetria Se é uma função real, então TF: SF: Espectro de frequência de

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P9. Modulação Ex.

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P10. Dualidade Se então Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência Pares sinal/transformada:

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P10. Dualidade

Exemplos Tabela: Ex. 1 Linearidade + Translação no Tempo

Exemplos Tabela: Ex. 2 Linearidade + Translação na Frequência

Translação na Frequência Exemplos periódico: Ex. 3 sin(p t) f(t) Linearidade + Translação na Frequência Translação no Tempo

Exemplos periódico: Ex. 3 (cont.) sin(p t) f(t)

Resposta Impulsional Resposta em Frequência Ex. Filtro passa-baixo ideal Espectro do sinal de entrada Espectro do sinal de saída

Resposta Impulsional Resposta em Frequência SLITs em série – propriedade da convolução

Resposta Impulsional Resposta em Frequência SLITs em paralelo– propriedade da linearidade

Resposta em Frequência Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato.

Equação Diferencial Resposta em Frequência SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

Modulação de Amplitude Sistema linear mas variante no tempo

Multiplexagem na Frequência

Multiplexagem na Frequência