Professor João Gilberto Estudo dos polígonos Professor João Gilberto

Polígono (Poligonal fechada) e Região poligonal Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham. A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.

A A E E Região poligonal B B Polígono D C C D Região poligonal convexa: é uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal. Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal. Convexo Não Convexo

Elementos de um polígono Vértices: são os pontos de encontro de dois lados consecutivos de um polígono A, B, C, D e E. Lados: são os segmentos que formam a linha poligonal. No polígono, os lados são: . D e4 e3 E C Ê e5 e2 A B e1

Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono. No polígono ao lado, os ângulos internos são A, B, C, D, E. Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. No polígono, os ângulos externos são e1, e2, e3, e4 e e5. D e4 Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não-consecutivos do polígono. As diagonais do polígono acima são os segmentos . e3 E C Ê e5 e2 A B e1

Quadrilátero regular: quadrado Polígonos regulares Polígonos regulares são os que apresentam todos os lados e todos os ângulos congruentes (iguais). Triângulo eqüilátero Quadrilátero regular: quadrado Pentágono regular

Polígonos inscritos e circunscritos Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

Polígonos inscritos e circunscritos Polígono inscrito Um polígono está inscrito numa circunferência, quando todos os seus vértices pertencem à circunferência. Podemos dizer que o polígono está inscrito na circunferência ou que a circunferência está circunscrita no polígono.

Polígonos inscritos e circunscritos Polígono circunscrito Um polígono está circunscrito numa circunferência, quando todos os seus lados são tangentes à circunferência. Podemos dizer que o polígono está circunscrito a circunferência ou que a circunferência está inscrita no polígono.

Elementos de um polígono regular Centro do polígono é o centro das circunferências inscritas e circunscritas (ponto O). O apótema de um polígono é a distância do centro do polígono ao ponto médio de qualquer lado (OM). Podemos dizer que o apótema (m) é o raio da circunferência inscrita ao polígono (m).

Ângulo central Ângulo central (cêntrico) é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semirretas que contém dois vértices consecutivos do polígono.

Soma dos ângulos internos A soma das medidas ângulos internos de um polígono convexo de n lados é.

Soma dos ângulos internos No cálculo das medidas dos ângulos de um polígono convexo, veremos que na soma dos ângulos internos, podemos proceder de dois modos: 1o modo: De um determinado vértice partem (n – 3) diagonais, que decompõem o polígono em (n – 2) triângulos. Portanto, Si = (n – 2) . 180º

Soma dos ângulos internos 2o modo: A partir de um ponto P, interno ao polígono, partem n segmentos, cada um com extremidade num vértice do polígono, decompondo esse polígono em n triângulos. Como a soma dos ângulos com vértices no ponto P é 360º, e a soma dos n triângulos é n . 180º, segue-se que a soma dos ângulos internos do polígono é: Si = n . 180º - 360º, ou seja Si = (n – 2) . 180º P1 Pn P2 P P P3 P4

Soma dos ângulos externos Para o cálculo da soma dos ângulos externos de um polígono, podemos proceder do seguinte modo: Em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180º.  ae + ai = 180º ae + ai = 180º . Então, Se + Si = n . 180º Ou seja, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a Se e a soma dos ângulos internos é Si. Como os ângulos internos e externos adjacentes são suplementares, logo: Se + (n – 2) . 180º = n . 180º  Se = 360º

Soma dos ângulos externos Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas medidas é 360o. Se = 360o

Medida de um ângulo interno e um ângulo externo Representando por ai a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados e por ae a medida do ângulo externo, podemos definir que:

a) a soma das medidas dos ângulos internos; b) a medida do ângulo x. Exemplos: 1) Considerando o pentágono representado na figura a seguir, determine: a) a soma das medidas dos ângulos internos; b) a medida do ângulo x. Solução: a) Si = (n – 2) . 180º como n = 5, temos: Si = (5 – 2) . 180º Si = 540º   b) Sabemos que num pentágono Si = 540°. Logo: (180° – x) + 105° + 100° + 115° + 120° = 540°  x = 80° D 105° x E C 100° 115° 120° A B

2) Considere um polígono regular cuja medida de um ângulo interno seja 3/2 da medida de um ângulo externo. Determine o número de lados deste polígono. Temos que: (1) (2) Das igualdades (1) e (2), temos: Logo,

Número de diagonais de um polígono Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não-consecutivos do polígono.

Observe os seguintes polígonos e o número de diagonais traçadas por um de seus vértices. F B G C D B E F C C D D E

Note que o número de diagonais traçadas por um de seus vértices é igual ao número lados menos três. Assim, em um polígono de n lados, podemos traçar, por um dos vértices, (n – 3) diagonais. Como o polígono tem n vértices, podemos traçar n.(n – 3) diagonais.

Esse produto, porém, representa o dobro do número de diagonais, pois cada diagonal foi contada duas vezes (por exemplo, a diagonal e a diagonal). Então, para calcular o número total de diagonais d de um polígono de n lados, podemos empregar a fórmula:

Exemplos: 1) Calcular o número de diagonais de um octógono Exemplos: 1) Calcular o número de diagonais de um octógono. Neste caso, temos que n = 8. Logo:

2) Determine o polígono que tem como número diagonais igual ao número de lados? d = n Como n representa o número de lados de um polígono, e, portanto, este não pode ser n ≤ 3, temos que este polígono possui 5 lados. Logo, o polígono em questão é pentágono.

Cálculo do apótema e lado de polígonos regulares Quadrado inscrito A B a R R O a D C

Cálculo do apótema e lado de polígonos regulares Hexágono Regular inscrito A B O C F R R a E D

Cálculo do apótema e lado de polígonos regulares Triângulo Equilátero inscrito A l3 l3 R O a 60° B C M l3

Área dos polígonos regulares B D E F O