Álgebra Linear e Geometria Analítica 10ª aula

Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em n

(u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)

(ku1,ku2) ku (u1,u2) u

Produto interno u = (u1, u2); v = (v1,v2) u . v = u1v1 + u2 v2

Produto interno e norma u = (u1, u2); v = (v1,v2) u . v = u1v1 + u2 v2

Produto interno em n u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un); v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn

Propriedades do produto interno u . v = v . u u . (v + w) = u . v + u . w  ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v) u . u  0 u . u = 0  u = 0

Produto interno e norma em n u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);

EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

Propriedades da norma Desigualdade triangular Desigualdade Cauchy-Schwartz

A B

Desigualdade triangular ||B|| ||A|| ||A+B|| B Desigualdade triangular

A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||

A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo Exemplo: u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1) u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0

A B

A B tB

A B tB tB é a projecção do vector A sobre B

A C B tB

A = tB + C C B tB

A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

A = tB + C C  B tB

A = tB + C C  B tB

A = tB + C C  B tB

Definição de projecção de um vector sobre outro: Sejam u e v vectores de n A projecção de u sobre v é o vector  v sendo

Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

Limites do valor de cos

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Produto externo Só se define produto externo em 3 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

Produto externo Só se define produto externo em 3

Regra prática:

Regra prática:

Regra prática:

Regra prática:

Regra prática:

Propriedades do produto externo: u  v = - (v  u) u  (v + w) = u  v + u  w  (u  v) = ( u)  v u . (u  v) = 0 v . (u  v) = 0 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u  v = 0  u e v linearmente dependentes

Propriedades do produto externo: O produto externo não é associativo! Exemplo:

Propriedades do produto externo: O produto externo não é associativo! Exemplo:

Propriedades do produto externo: u e v linearmente independentes {u, v, uv} linearmente independente Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo de uv

Propriedades do produto externo: u e v linearmente independentes {u, v, uv} formam base de 3

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)

Propriedades do produto externo: ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2) ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

A ||A||sen  B

:||A  B|| = ||A|| ||B|| sen ||A||sen  B Área do paralelogramo: :||A  B|| = ||A|| ||B|| sen

Produto misto O produto misto só se define em 3 u, v, w  3 O produto misto de u, v e w é: u . (v  w)

Regra prática para calcular o produto misto u, v, w  3

Propriedades do produto misto u, v, w  3 u . (v  w) = 0  {u, v, w} linearmente dependente u . (v  w) = (u  v) . w u . (v  w) = v . (w  u) u . (v  w) = - u . (w  v) = - v . (u  w)

Interpretação geométrica: (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.

Interpretação geométrica: (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base

Interpretação geométrica: (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo  o ângulo entre w e uv

Interpretação geométrica: (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo  o ângulo entre w e uv Volume = ||uv || ||w||cos = (u  v) . w

w v u

w v u

u  v w v u

u  v w altura v u

u  v w Altura = ||w|| cos  v u

u  v w Altura = ||w|| cos  v Área da base = ||uv|| u

Bases ortonormadas Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois. Um conjunto de vectores diz-se ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária

Bases ortonormadas Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário. Dado um qualquer vector não nulo u, é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:

Como obter uma base ortogonal? Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço vectorial de dimensão n. Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v1, v2, . . . , vn} aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:

Ortogonalização de Gram-Schmidt

Ortogonalização de Gram-Schmidt

Ortogonalização de Gram-Schmidt

Ortogonalização de Gram-Schmidt