Capítulo 19 – Polígonos Regulares Prof. Mauricio Boni – Colégio Jardim São Paulo
Recordando... Vamos relembrar algumas definições importantes sobre polígonos: Polígonos simples e não simples Um polígono é simples se quaisquer dois lados não consecutivos não têm ponto comum. Caso contrário, ele será chamado de não simples.
Recordando... Diagonais Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono.
Recordando... Polígonos convexos e côncavos Um polígono é convexo se todas as suas diagonais estão inteiramente contidas na região interior do polígono. Se pelo menos uma diagonal não estiver contida na região interior do polígono, ele será côncavo.
Número de diagonais de um polígono Vamos agora determinar uma fórmula que relacione a quantidade de diagonais de um polígono com a quantidade de lados do mesmo. Vamos traçar as diagonais que saem de um mesmo vértice. De cada vértice sairão diagonais para todos os outros vértices, menos para ele mesmo e os dois vértices adjacentes. Considere um polígono de n lados (e n vértices.)
Número de diagonais de um polígono Se o polígono possui n vértices, e cada um deles possui (n-3) diagonais, o total de diagonais pode ser dado por: MAS, dessa maneira, cada diagonal foi contada duas vezes. d = n . (n – 3) 2 Portanto, precisamos ainda, dividir este valor por 2.
Soma dos ângulos internos de um polígono Vamos ver a tabela a seguir: Figura Lados “Triângulos” Soma dos ângulos internos 3 1 180° 4 2 2 . 180° = 360° 5 3 . 180° = 540° 6 4 . 180° = 720° n n – 2 (n – 2) . 180° Si = (n – 2) . 180°
Soma dos ângulos externos de um polígono i e (i1 + e1) + (i2 + e2) + (i3 + e3) + ... + (in + en)= 180° + 180° + 180° + ... + 180°= n . 180° Se agruparmos de outra forma essa soma, teremos: Para qualquer polígono, vale a relação: e + i = 180° (i1 + i2 + i3 ... + in) + (e1 + e2 + e3 ... + en) = Para um polígono de n lados, somaremos todos os seus ângulos internos e externos: Si + Se = n . 180° (n – 2). 180° + Se = n . 180° 180°. n – 360° + Se = n . 180° Se = 360° Se = 360° Ou seja, para qualquer polígono convexo, a soma de seus ângulos externos será igual a 360°