Ensino Superior Cálculo 2 5. Derivadas Parciais Amintas Paiva Afonso

Funções de várias variáveis

Funções de várias variáveis Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial A diferença básica entre esses dois cálculos é o domínio dos respectivos objetos a serem otimizados. Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números, o do cálculos variacional são as funções (curvas).

Funções de várias variáveis Exemplo 1 Qual dos números: 2, 3, 4, 5 ou 6 produz em f(x) = -x2 + 8x + 12 o valor máximo? x = 2  x = 3  x = 4  x = 5  x = 6   f(x) = 24  f(x) = 27  f(x) = 28 f(x)

Funções de várias variáveis Exemplo 2 Qual dos funções abaixo delimita uma área máxima sob seu traçado quando integrada de 2 a 6? f1(x) = 180,18 lnx –121,13; f2(x) = 49,48x-95,21; f3(x) = -228,57 sen .x/3 + 201,71; f4(x) = 6,18x2 – 20,98. f1(x)  f2(x)  f3(x)  f4(x)   A1= 482,0  A2 = 410,9 A3 = 1.139,2  A4 = 344,9

Funções de várias variáveis Propriedades de curvas Assim cada curva tem sua propriedade. Cabe escolher aquela que se adequa melhor ao projeto. MATEMÁTICA Curva Propriedade Uso em: Catenária f(x) = cos hx Resistência Cúpulas Reta f(x) = ax + b Menor distância Rotas Ciclóide y = a( - sen ) x = a(1 – cos ) Menor Tempo Relógios Semicírculo Maior Área Jóias Parábola f(x) = ax2 +bx + c Focal faróis

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais Para este curso, discutiremos o caso de funções de duas variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitado desta maneira, uma tradução de maneira simples do conceito de derivadas parciais. Mas, os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis.

Funções de várias variáveis Definição Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada por (x0,y0), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto (x0,y0), mantendo-se y constante, Analogamente, em relação a y aplicada no ponto (x0,y0), designando por mantendo-se x constante.

Funções de várias variáveis Exemplo 1 Calcule a derivadas parciais da função f(x,y) = yx3 + xy2.

Funções de várias variáveis Exemplo 2 Calcule as derivadas parciais da função no ponto (1,2). 1.º método

Funções de várias variáveis Exemplo 2 2.º método Encontramos a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto (1,2) fazendo y=2 e derivando a função para uma única variável.

Funções de várias variáveis Analogamente, para x=1: Logo, e

Funções de várias variáveis Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já uma das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a derivada da outra. Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = 2x3.e5y. Temos que:

Funções de várias variáveis Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: E a segunda derivada, em relação a y é:

Funções de várias variáveis Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x: E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras ; As duas últimas são chamadas de mistas.

Funções de várias variáveis Notação Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas. Proposição Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal que as derivadas existem e são contínuas nessa vizinhança, então .

Funções de várias variáveis Regra da Cadeia A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis. Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).

Funções de várias variáveis A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão: P = p(x(t) , y(t)) = P(t) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

Funções de várias variáveis Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis. Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes derivadas parciais: .

Funções de várias variáveis Exemplo

Funções de várias variáveis Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

Funções de várias variáveis Aplicação A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2. Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de OU; Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?

Funções de várias variáveis Solução

Funções de várias variáveis Curvas de nível As curvas de nível são maneiras de descrever, geometricamente, o comportamento das funções de duas variáveis. A idéia básica é semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno. Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemos uma equação em duas variáveis f(x, y) = c. Esta equação define uma curva no plano xy, que se chama uma curva de nível da função f(x, y) referente ao valor c. Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva-intersecção do plano z=c com o gráfico da função z = f(x, y)

Funções de várias variáveis Curvas de nível Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c. Exemplo-1 Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função z = f(x,y) = x2 + y2. Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c. Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio . Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.

Funções de várias variáveis Exemplo 1

Funções de várias variáveis Exemplo 1

Funções de várias variáveis Exemplos de outras curvas

Funções de várias variáveis Exemplos de outras curvas

Funções de várias variáveis Gradiente de uma função O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são: e

Funções de várias variáveis Simbolicamente: Exemplo 2 Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto (1,3).

Funções de várias variáveis Resolução Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a x e y: No ponto (1,3): Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3) é o vetor f(1,3)=[12,-3].

Funções de várias variáveis Gradiente de uma função Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente.

Funções de várias variáveis Gradiente de uma função Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.

Funções de várias variáveis Relação entre Gradiente Curvas de Nível Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva. Teorema O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.

Funções de várias variáveis Prova Os pontos (x,y) que satisfazem essa equação podem, por pertencerem a uma curva plana, ser parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t); Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C; Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, pela regra da cadeia:

Funções de várias variáveis Prova O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)]; Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto (x(t),y(t)); Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).

Funções de várias variáveis Exemplo 3 Se f(x,y) = x2 + y2, então, g(x,y) = f(x,y) = 2x + 2y. Calculado no ponto (a,b) teremos o vetor g(x,y) = f(x,y) = = 2a + 2b.

Funções de várias variáveis Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990. Ricieri, A.P. Matemática aplicada à vida. Prandiano. São Paulo, s/d. n.º 5/2.