Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin Aula 7

Integral de Convolução Aula 7

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Integral de Convolução EXEMPLO: Considere o circuito RC da figura e suponha que a constante de tempo do circuito seja RC=1s. Determine a tensão do capacitor, y(t), resultante de uma tensão de entrada SOLUÇÂO: O circuito é LTI, de forma que a saída é a convolução da entrada e da resposta ao impulso, ou seja, y(t)=x(t)*h(t). A resposta ao impulso deste circuito é Aula 7

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Integral de Convolução

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Conexão paralela de sistemas

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Propriedade distributiva

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Conexão em cascata de sistemas

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Conexão em cascata de sistemas Mudança de variável A integral interna é a convolução de h1(t) e h2(t) avaliada em t-μ. Ou seja, se definirmos h(t)= h1(t)*h2(t), então

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Conexão em cascata de sistemas Logo,

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Propriedade Associativa Propriedade Comutativa Todas as propriedades também se aplicam ao tempo discreto!

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Exemplo: Considere a interconexão dos sistemas LTI mostrados na figura. A resposta ao impulso de cada sistema é: Encontre a resposta ao impulso do sistema global, h(t)

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Solução Dividir para conquistar!

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Sistema sem Memória A saída de um sistema LTI de tempo discreto pode ser descrita como Para que este sistema seja sem memória, y[n] deve depender somente de x[n] e não de x[n-k], para k≠0. Neste caso, Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Sistema Causal Considere a saída de um sistema LTI de tempo discreto Para que este sistema seja causal, y[n] deve depender somente de valores passados e presente de x[n], de modo que h[k]=0, para k<0. Neste caso, Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Sistema Estável Sistema BIBO estável Então,

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Sistema Estável Supondo que a entrada é limitada, isto é Consequentemente, a saída também será limitada, isto é desde que a resposta ao impulso seja absolutamente somável. Logo , é a condição necessária para que um sistema seja estável! Analogamente, para um sistema de tempo contínuo, temos que

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Exemplo: Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso Este é um sistema BIBO estável, sem memória ou causal? Solução: Verificação da estabilidade O último somatório converge se |a|<1. Logo, o sistema é estável se e somente se 0<a<1.

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Solução: O sistema é não causal, uma vez que a resposta ao impulso é não nula para as amostras futuras n=-1 e n=-2. O sistema é com memória, pois a resposta ao impulso é não nula para amostras n≠0.

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Sistema Invertível e Desconvolução Similarmente um sistema LTI de tempo discreto é invertível se

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Exemplo: Considere projetar um sistema inverso de tempo discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num problema de transmissão de dados. Suponha que o eco seja representado como atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma unidade de tempo na sequência de entrada. Daí, o sinal recebido distorcido y[n] pode ser expresso em termos do sinal transmitido x[n] como Encontre um sistema inverso causal que recupere x[n] de y[n]. Verifique se este sistema inverso é estável.

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Solução: Primeiramente identificamos a resposta ao impulso do sistema que relaciona y[n] e x[n]. onde O sistema inverso h-1[n] deve satisfazer

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Solução: em um sistema causal, para n<0, h-1[n]=0. Para n=0, De modo que Para n>0, de modo que Uma vez que Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável.

Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI Solução: Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável. A série acima converge para a<1. Logo, o sistema é estável para 0<a<1. Isto significa que o sistema é estável se o eco atenuar o sinal transmitido x[n], mas é instável se o eco amplificar tal sinal.