Solução das equações de estado Equação de estado (vetorial): Equação escalar: Aplicando a transformada de Laplace: FONTE: www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_03.pdf

Solução das equações de estado Solução em X(s): Mas: E:

Solução das equações de estado Aplicando a transformada inversa na expressão de X(s): Vamos utilizar o mesmo raciocínio para solucionar a equação diferencial matricial: Solução para entrada nula Solução para estado nulo

Solução das equações de estado Aplicando a transformada de Laplace:  Mas:

Solução das equações de estado Aplicando a transformada de Laplace: Por analogia com a relação escalar: Introduz-se a notação:

Solução das equações de estado Se A é uma matriz (n n), então eAt também é uma matriz (n n), chamada de matriz exponencial. Observe que: Assim:  Como deteminar x(t)?

Solução das equações de estado A matriz exponencial eAt é também chamada de matriz de transição de estados F(t): pois descreve a transição dos estados da condição inicial x(0) para estados no tempo t, para uma entrada nula: Solução para entrada nula Solução para estado nulo

Solução das equações de estado Observe que F(t) satisfaz a equação: Outras propriedades de F(t):

Solução das equações de estado Computação da matriz de transição de estados:  Pode-se calcular: até que não sejam mais observadas mudanças significativas. Exemplo:  Variáveis de estado?

Solução das equações de estado Exemplo (cont): Variáveis de estado: Equação de estado matricial: Cálculo de F(t):

Solução das equações de estado  Assim, a solução para a equação homogênea com condições iniciais é dada por:

Solução das equações de estado Solução por transformada de Laplace para a matriz de transição de estados: Exemplo: Uma realização em espaço de estados: 

Solução das equações de estado Exemplo (cont): Portanto: 

Solução das equações de estado Assim:

Computação da matriz exponencial com o Toolbox Symbolic Math do Matlab: Pode-se também calcular o valor numérico:

Solução das equações de estado Resposta total do sistema (entrada + condições iniciais): Entrada = degrau unitário: aplicada ao sistema:  Resposta total: Entrada no domínio s : Este termo já temos Falta determinar este termo

Solução das equações de estado Já havíamos calculado a resposta à entrada nula. Agora falta calcular a resposta ao estado nulo:

Solução das equações de estado Assim:

Respostas de sistemas no Matlab: Dado um objeto LTI: Resposta a condições iniciais: Resposta ao impulso: Resposta ao degrau: Resposta a uma entrada genérica:

Respostas de sistemas no Matlab: Viewer do Matlab para um sistema LTI: File  Import  selecionar G Clique com o botão direito do mouse sobre a figura

ltiview no Matlab:

ltiview no Matlab:

Resposta completa de x(t) Resposta completa do sistema: Resposta completa do sistema - Symbolic Math Toolbox: Resposta à entrada nula:

Resposta completa de x(t) Resposta ao estado nulo:

Toolbox simbólico no Matlab >> help syms SYMS Short-cut for constructing symbolic objects. SYMS arg1 arg2 ... is short-hand notation for arg1 = sym('arg1'); arg2 = sym('arg2'); ... SYMS arg1 arg2 ... real arg1 = sym('arg1','real'); arg2 = sym('arg2','real'); ... (...) Examples: syms x beta real is equivalent to: x = sym('x','real'); beta = sym('beta','real');

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado Já vimos que não existe um único conjunto de variáveis de estado que resultam em um mesmo comportamento entrada-saída (ou mesma função de transferência). Como passar de uma realização em espaço de estados para outra? Considere uma realização dada por: Queremos encontrar uma outra realização dada por: FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado Para isto, precisamos realizar uma transformação (não-singular) linear de variáveis: T: matriz de transformação. Assim:  FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado Assim: onde: Esta é uma chamada de transformação de similaridade. FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado Como estas duas realizações referem-se a um mesmo sistema (mesma função de transferência), deve-se ter: Exemplo: Vamos escolher:

Exemplo: ss  tf Para esta definição de variáveis de estado, as equações de estados são dadas por: : Forma canônica controlável

Exemplo: ss  tf Diagrama de simulação: Função de transferência?

Exemplo: ss  tf Função de transferência:

No Matlab: ss  tf : ss2tf Função de transferência G: : Forma canônica >> G=tf(1,conv([1 2],[1 3])) Transfer function: 1 ------------- s^2 + 5 s + 6 >> [A,B,C,D]=tf2ss(1,conv([1 2],[1 3])) A = -5 -6 1 0 B = 1 C = 0 1 D = : Forma canônica controlável

Formas canônicas e diagramas de simulação Diagrama de simulação para o sistema descrito pela equação diferencial: Assim:

Formas canônicas e diagramas de simulação Saídas dos integradores = estados 

Formas canônicas e diagramas de simulação Diagrama de blocos: Matriz A: Forma canônica companheira (superior)

Formas canônicas e diagramas de simulação Forma canônica controlável com derivadas da entrada: Introduz-se um estado parcial x como uma variável auxiliar, tal que:

Formas canônicas e diagramas de simulação Forma canônica controlável com derivadas da entrada – equação envolvendo estados e entrada:  Também pode ser realizado com integradores em série A saída pode ser dada por:

Formas canônicas e diagramas de simulação Forma canônica controlável com derivadas da entrada – diagrama de simulação:  Os estados são realimentados para a entrada

Formas canônicas e diagramas de simulação Equações de estado: Matriz Ac: Forma canônica companheira (superior)  Esta matriz é companheira da equação característica

Para próxima aula: Estudar formas canônicas: Forma canônica controlável; Forma canônica observável; Formas canônicas companheiras.