1.1. VARIÁVEIS DE ESTADO SISTEMAS III ORIGEM DA REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO: década de 60 → teoria moderna de controle → baseada no domínio tempo. REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA: Descrição externa do sistema (saída/entrada) Hipótese: condições iniciais nulas → sistema inerte Ligação direta com o domínio da freqüência Sistemas lineares e invariantes no tempo SISTEMAS III

1.2. VARIÁVEIS DE ESTADO SISTEMAS III REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO: Descrição interna do sistema Domínio do tempo Permite considerar condições iniciais não nulas Aplica-se a sistemas não-lineares e variantes no tempo Facilidade para tratamento de sistemas multivariáveis → é uma representação mais genérica que a feita por uma função de transferência SISTEMAS III

2.1. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA CONTROLE MODERNO: Descreve-se as equações diferenciais temporais de todas as variáveis dinâmicas do processo → são as VARIÁVEIS DE ESTADO. DEFINIÇÃO DE ESTADO: O estado de um sistema no tempo t0, x(t0), é a quantidade de informação que, junto com o conhecimento da entrada a partir deste instante, u[t0, ∞], determina o comportamento único do sistema para t > 0. SISTEMAS III

2.2. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA SISTEMAS III VARIÁVEIS DE ESTADO: normalmente, estão fisicamente associadas a elementos armazenadores de energia. Ex.: - Sistemas mecânicos: velocidade, pressão, aceleração. Sistemas elétricos: tensão em capacitores, corrente em indutores. MAS: podem não ter um significado físico. NÚMERO MÍNIMO DE VARIÁVEIS DE ESTADO: geralmente, é igual à ordem da equação diferencial que descreve o sistema em análise. SISTEMAS III

2.3. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA MODELAGEM: representação de um determinado processo por variáveis de estado → traz a necessidade da compreensão física da todos os fenômenos que fazem parte do processo. É a tradução de um processo em uma linguagem matemática formal. Conjunto de equações diferenciais lineares ou não-lineares, com parâmetros variantes ou invariantes no tempo. SISTEMAS III

2.4. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA ESPAÇO DE ESTADOS: espaço n-dimensional cujas coordenadas consistem das n variáveis de estado → sistemas que são representados por equações diferenciais tem um número infinito de representações no Espaço de Estados (equações de estados + equações de saída). VETOR DE ESTADOS: vetor neste Espaço de Estados. SISTEMAS III

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 2.5. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA SISTEMAS III

3.1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE ESTADO x´ = Ax + Bu → equação de estados y = Cx + Du → equação de saída u → excitação y → saída x → vetor coluna de estados: n estados x = | x1 | | x2 | | … | | xn | x´ → derivada do vetor de estados em relação ao tempo SISTEMAS III

3.2. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE ESTADO A → matriz da dinâmica do sistema - dimensão [n x n] - n = linhas = ordem do sistema - n = colunas = número de variáveis de estado. B → matriz de controle ou de entrada - dimensão [n x b] - n = linhas - b = colunas = número de entradas ou de excitações presentes. - está relacionada à entrada u (excitação) - força o sistema, levando-o a assumir outros estados → ação de condução ou de controle SISTEMAS III

3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE ESTADO C → matriz de resposta ou de saída - dimensão [c x n] - c = linhas = número de componentes da resposta ou saída y - n = colunas D→ matriz de ação avante x → vetor de estados [n x 1] u → vetor de controle [b x 1] y → vetor de resposta [x x 1] SISTEMAS III

3.4. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE ESTADO 1º. Passo) Determinar as equações de estado que descrevem completamente o comportamento do sistema. 2º. Passo) Descrever a saída em função do vetor de estados e da entrada. 3º. Passo) Descrever o sistema por uma equação diferencial. 4º. Passo) Escolher as variáveis de estado do sistema. 5º. Passo) Determinar as novas equações de estado e de saída. SISTEMAS III

4.1. TRAJETÓRIA DE ESTADOS SISTEMAS III 1ª. ANÁLISE: APLICANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE s.X(s) – x(0) = A.X(s) + B.U(s) (sI – A).X(s) = x(0) + B.U(s) X(s) = (sI – A)-1.x(0) + (sI – A)-1.B.U(s) Aplicando L-1: x(t) = L-1 {(sI – A)-1}.x(0) + L-1 {(sI – A)-1.B.U(s)} Sabe-se que: L-1 {(sI – A)-1} = eAt = I + At + A2t2/(2!) + A3t3/(3!) + … SISTEMAS III

4.2. TRAJETÓRIA DE ESTADOS x(t) = eAt.x(0) + ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ onde: eAt.x(0) = xzi(t) = resposta à condição inicial (livre ou forçada) = expressão de x(t) no caso de não haver entrada (zero input) ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ = xzs(t) = resposta forçada devido à entrada u(t) = sistemas em que está presente a excitação u(t), mas as condições iniciais do vetor de estados são nulas; x(0) = 0 SISTEMAS III

4.3. TRAJETÓRIA DE ESTADOS SISTEMAS III 2ª. ANÁLISE: MULTIPLICANDO AS n EQUAÇÕES DESTE SISTEMA PELA MATRIZ e-At e-At.x´(t) = e-At.A.x(t) + e-At.B.u(t) e-At [x´(t) - A.x(t)] = e-At.B.u(t) d/dt [e-At.x(t)] = e-At.B.u(t) Integrando as n últimas relações: e-At.x(t) – x(0) = ∫0t e-Aδ.B.u(δ).dδ onde: δ = variável integranda adotada para evitar confusão com o limite t SISTEMAS III

4.4. TRAJETÓRIA DE ESTADOS SISTEMAS III Sabe-se que: eAt. e-At = eit = I (matriz identidade) Multiplicando ambos os lados da expressão por eAt → obtém-se a FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS AO LONGO DO TEMPO: x(t) = eA(t).x(0) + ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ onde: eA(t).x(0) = resposta à condição inicial ∫0t eA(t-δ).B.u(δ).dδ = resposta forçada devido à entrada u(t) SISTEMAS III

5. RESPOSTA TEMPORAL SISTEMAS III Possibilita determinar a performance do sistema. A resposta transitória pode ser obtida pela avaliação da solução do vetor de estados da equação diferencial. Multiplicando a FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS AO LONGO DO TEMPO pela matriz C: y(t) = C.eA(t).x(0) + ∫0t C.eA(t-δ).B.u(δ).dδ onde: C.eA(t).x(0) = yzi(t) (zero input) ∫0t C.eA(t-δ).B.u(δ).dδ = yzs(t) SISTEMAS III

6.1. RESP. TEMP.-SISTEMAS AMOSTRADOS APROXIMAÇÃO POR SISTEMAS AMOSTRADOS → permite obter a resposta de um sistema representado por um vetor de estados. → é baseada na divisão do eixo do tempo em um número suficiente de pequenos incrementos, em que os valores das variáveis são avaliadas em intervalos de tempo sucessivos: t = 0, T, 2T, ... → Se T << τ (constante de tempo do sistema): a resposta obtida com os métodos de tempo discreto (sistemas amostrados) será razoavelmente precisa. SISTEMAS III

6.2. RESP. TEMP.-SISTEMAS AMOSTRADOS Equação de estados: x´ = Ax + Bu (1) Definição da derivada: limΔt→0 [x(t+Δt) – x(t)] / Δt (2) Utilizando esta definição e determinando o valor de x(t) quando t é dividido em pequenos intervalos Δt = T, aproxima-se: x´ = [x(t +T) – x(t)] / T (3) Substituindo (3) em (1): [x(t +T) – x(t)] / T ≈ Ax(t) + Bu(t) (4) SISTEMAS III

Resolvendo para x(t + T): x(t + T) ≈ T.A.x(t) + x(t) + T.B.u(t) 6.3. RESP. TEMP.-SISTEMAS AMOSTRADOS Resolvendo para x(t + T): x(t + T) ≈ T.A.x(t) + x(t) + T.B.u(t) ≈ (TA + I)x(t) + T.B.u(t) (5) onde: I = matriz identidade t = kT = 0, T, 2T, ... Reescrevendo (5): x[(k+1)T] ≈ (TA + I)x(kT) + TBu(kT) (6) SISTEMAS III

6.4. RESP. TEMP.-SISTEMAS AMOSTRADOS Reescrevendo (6) → obtenção de x(t) pela avaliação por aproximação no tempo discreto de x(k+1), em função do valor anterior x(k): x(k+1) ≈ Ψ(T)x(k) + TBu(k) (7) onde: Ψ(T) = (TA + I) símbolo T é omitido dos argumentos das variáveis Este método é chamado de OPERAÇÃO DE RECORRÊNCIA OU MÉTODO DE EULER → é uma seqüência de cálculos. SISTEMAS III

7.1. MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS DE ESTADO E FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA: Sistemas lineares e invariantes no tempo → aplica-se o conceito de função de transferência → pode-se estabelecer a relação existente entre a representação do sistema em variáveis de estado e a respectiva função de transferência do sistema. Considera-se o Sistema de Equações de Estado e representa-se o mesmo no domínio da freqüência. SISTEMAS III

x´ = Ax(t) + Bu(t) → sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s) 7.2. MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA Adota-se como nulas as condições iniciais de todas os componentes do vetor de estado x(0) = 0. x´ = Ax(t) + Bu(t) → sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s) y = Cx(t) + Du(t) → Y(s) = CX(s) + DU(s) SISTEMAS III

7.3. MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA Manipulando algebricamente obtém-se a Matriz de Transferência: Y(s) / U(s) = C(sI – A)-1 B + D onde: (sI – A)-1 = [1 / |sI – A|] . Adj (sI – A) em que a matriz adjunta de (sI – A) é constituída pela matriz de cofatores de (sI – A) transposta, ou Adj (sI – A) = [cof(sI – A)]T SISTEMAS III

Pz´ = APz + Bu → z´ = P-1APz + P-1Bu 8.1. REPRESENTAÇÕES DE ESTADOS Sistema de equações de estado (1): x´ = Ax(t) + Bu(t) y = Cx(t) + Du(t) Seja P uma matriz não-singular (isto é, inversível) Mudança de variável: x = Pz ↔ z = P-1x Daí: Pz´ = APz + Bu → z´ = P-1APz + P-1Bu y = CPz + Du onde: A* = P-1AP ; B* = P-1B ; C* = CP SISTEMAS III

8.2. REPRESENTAÇÕES DE ESTADOS Assim, obtém-se o sistema de equações de estado (2): z´ = A*z + B*u y = C*z + Du Conclusões: A equação (1) é dita equivalente a equação (2). Esta mudança de variável é dita, no caso vetorial, MUDANÇA DE BASE ou uma TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE. Para diferentes matrizes P tem-se diferentes equações equivalentes. UM SISTEMA TEM INFINITAS REPRESENTAÇÕES DE EQUAÇÕES DE ESTADO → NÃO HÁ UNICIDADE DE REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS. Só algumas destas representações possuem significado físico. Só algumas apresentam boas propriedades matemáticas. SISTEMAS III

9. SISTEMAS MULTIVARIÁVEIS Todos estes conceitos podem ser extendidos para sistemas multivariáveis. Um sistema linear, invariante no tempo, causal, de ordem n, com b entradas e c saídas, pode ser representado no espaço de estados pela forma: x´ = Ax + Bu y = Cx + Du SISTEMAS III

Da expressão da Matriz de Transferência: 10. AUTO-VALORES E PÓLOS Da expressão da Matriz de Transferência: Y(s) / U(s) = G(s) = C(sI – A)-1 B + D Vê-se que os pólos de um sistema linear são dados pelas raízes da equação: det (sI – A) = 0 [os pólos são os auto-valores da matriz da dinâmica do sistema (A)] SISTEMAS III