3. Transformada Z 3.1. Definição Seja um sistema discreto LTI: x[n] TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3. Transformada Z 3.1. Definição Seja um sistema discreto LTI: x[n] y[n] h[n] Com: A saída y[n] pode ser calculada como:

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Logo: zn é autofunção do sistema Discreto LTI TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Definindo: Temos que: Cte complexa Logo: zn é autofunção do sistema Discreto LTI e H(z) seu autovalor correspondente.

Logo, definimos Transformada Z do sinal discreto x[n] como: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo, definimos Transformada Z do sinal discreto x[n] como: Transformada Z Unilateral: Equivalente à TZ bilateral quando x[n]=0 n<0 ; Usada p/ analisar EDCC com condições iniciais não nulas.

Escrevendo o número complexo z na sua forma polar: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Escrevendo o número complexo z na sua forma polar: Temos: Logo: Se r=1: Transformada de Fourier

O inverso nem sempre é verdade!!! TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Transformada Z pode ser obtida a partir da Transformada de Fourier fazendo: O inverso nem sempre é verdade!!! Pois: Pode fazer com que alguns sinais se tornem convergentes

Analogia Contínuo  Discreto TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Analogia Contínuo  Discreto Contínuo: Transformada de Laplace: Fazendo: Obtemos a Transformada de Fourier:  j s Se eixo j  ROC 0 Eixo j

Discreto: Transformada Z: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Discreto: Transformada Z: Fazendo: Obtemos a Transformada de Fourier: z 1 -1 Re{z} Im{z} r0 Se circulo unitário  ROC Circulo Unitário

Ex.: PG: =a.z-1 a0=1 n= Converge se: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: PG: =a.z-1 a0=1 n= Converge se:

Neste caso: z Se |a|<1  T.Fourier |a|>1  T.Fourier a 1 -1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Neste caso: z 1 -1 Re{z} Im{z} Se |a|<1  T.Fourier |a|>1  T.Fourier a

Ex.2: PG: =a-1.z a0= a-1.z n= Converge se: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.2: PG: =a-1.z a0= a-1.z n= Converge se:

Neste caso: z Se |a|>1  T.Fourier |a|<1  T.Fourier a 1 -1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Neste caso: z 1 -1 Re{z} Im{z} Se |a|>1  T.Fourier |a|<1  T.Fourier a

Conclusão: Sinais diferentes podem ter a mesma TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conclusão: Sinais diferentes podem ter a mesma expressão algébrica de X(z). Logo uma Transformada Z só é completamente definida se especificarmos: - Expressão algébrica de X(z) - Região de Convergência(ROC)

Qualquer sinal que pode ser representado como um TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Qualquer sinal que pode ser representado como um somatório de exponenciais complexas, poderá ser representado por uma Transformada Z composta de uma razão de dois polinômios. Valores que fazem X(z) igual a ZERO Raízes de N(z)  Zeros da X(z) Valores que fazem X(z) igual a INFINITO Raízes de D(z)  Pólos da X(z) Nos exemplos: Zero: z=0 Pólo: z=a

Diagrama de pólos e zeros: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Diagrama de pólos e zeros: Representação gráfica no plano z dos pólos e zeros. z 1 -1 Re{z} Im{z} a

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.3:

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z z z 1 -1 Re{z} Im{z} 1 -1 Re{z} Im{z} 1 -1 Re{z} Im{z} -1/3 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR z 1 -1 Re{z} Im{z} z 1 -1 Re{z} Im{z} 1/2 -1/3 z 1 -1 Re{z} Im{z} 1/12 1/2 -1/3

Usando os resultados das análises anteriores e a TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.4: Usando os resultados das análises anteriores e a Propriedade de Linearidade da Transformada Z. Logo:

z 1 -1 Re{z} Im{z} TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1/12 -1/3 1/2

Ex.5: PG: a0=1 =a.z-1 n=N X(z) converge se Isto é: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5: PG: a0=1 =a.z-1 n=N X(z) converge se Isto é:

Quando k=0: zero em z=a logo cancela com o pólo em z=a TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pólos da X(z): Zeros da X(z): Quando k=0: zero em z=a logo cancela com o pólo em z=a

Logo tem-se: N-1 pólos em z=0 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo tem-se: N-1 pólos em z=0 N-1 zeros distribuídos uniformemente sobre um círculo de raio a p/ N=8 z 1 -1 Re{z} Im{z} (7) 2k/8 a ROC: Todo plano z com exceção de z=0

3.2. Propriedades da ROC Considerando X(z) uma função racional em z e TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.2. Propriedades da ROC Considerando X(z) uma função racional em z e x[n] finito p/n finito 1) A ROC de X(z) é um anel ou disco centrado na origem (z=0) 2) A Transformada de Fourier de x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC de X(z) inclui a circunferência unitária. 3) A ROC não contém pólos de X(z) 4) Se x[n] tem duração finita, x[n]0 p/ -<N1nN2<, a ROC é todo plano z com possíveis exceções em z=0 e z=

5) Se x[n] é definida à direita, x[n]=0 p/ n<N1<, TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5) Se x[n] é definida à direita, x[n]=0 p/ n<N1<, a ROC estende-se de |z|=r0 (maior pólo) até , incluindo ou não z= 6) Se x[n] é definida à esquerda, x[n]=0 p/ n>N2>, a ROC será |z|<r0 (menor pólo), incluindo ou não z=0 7) Se x[n] é definida à esquerda e à direita, a ROC será um anel compreendido entre 2 pólos. 8) A ROC deve ser uma região conexa.

3.3. Transformada Z Inversa TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.3. Transformada Z Inversa Demonstração da fórmula de inversão.

Variando  de 0 a 2  z varia sobre uma circunferência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mudança de variáveis: Variando  de 0 a 2  z varia sobre uma circunferência de raio r. |z|=r  ROC de X(z) Resolve-se utilizando o Teorema dos Resíduos

Pares de Transformadas Z TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pares de Transformadas Z

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TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.3.1. Inversão por Inspeção Consiste no uso eficiente das tabelas e propriedades da Transformada Z

3.3.2. Expansão em Frações Parciais TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.3.2. Expansão em Frações Parciais Revisão: Dado G(v) função racional em v com grau N(v) < grau D(v) Pode ser escrita na forma Onde: r = número de pólos i = multiplicidade do pólo i Aik = coeficiente relativo a k-ésima parcela do pólo i

Pólos: duplos em s=-2 e complexo s=-1j r=4 1=2 2=1 3=1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Onde: Ex.: Pólos: duplos em s=-2 e complexo s=-1j r=4 1=2 2=1 3=1

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Pólo complexo: No caso: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pólo complexo: No caso:

P/ funções com coeficientes reais: sempre B’=A’* TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/ funções com coeficientes reais: sempre B’=A’* Logo: Assim: Matlab: função residue [r,p,k]=residue(n,d)

No caso específico da Transformada Z TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR No caso específico da Transformada Z Como as funções básicas são na forma: A expansão em frações parciais não pode ser aplicada diretamente na X(z). Soluções: 1) Aplicar o método na função: 2) Aplicar o método na função: Matlab: função residuez [r,p,k]=residuez(n,d)

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Método 1:

Logo: Por tabela temos: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Por tabela temos:

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Método 2:

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Por tabela temos:

3.3.2. Expansão em Série de Potência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.3.2. Expansão em Série de Potência Definição da Transformada Z  Série de Laurent

Podemos calcular a série de potência de uma razão TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Sabemos por tabela: Isto é: Podemos calcular a série de potência de uma razão de polinômios por divisões sucessivas:

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Pólos somente em z=0, frações parciais não é apropriado. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.2: Pólos somente em z=0, frações parciais não é apropriado. Multiplicando todos os termos: De tabela temos: Ex.3:

3.4.Propriedades da Transformada Z TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.4.Propriedades da Transformada Z

Verificar as respostas usando Divisões Sucessivas TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exercícios: 1) 2) 3) Verificar as respostas usando Divisões Sucessivas