Matemática II aula 4 Profª Débora Bastos

Regra de L’Hospital Teorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x  a em I, g’(x)  0. Então se e e se segue que . Observação: O teorema também é válido para limites laterais. Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados:

Exemplos Calcule os limites abaixo: a) b) c) d)

Se ou se , então através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em ou . Exemplos: a) b)

Diferencial Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b), então para todo x  (a,b), temos que a derivada de f(x) é dada por: Então: Daí: onde g(x) é uma função infinitesimal. Logo: Como x  0 e g(x) 0, temos x g(x) 0, ou seja, ou

Atenção: Exemplo: Encontre um valor aproximado para Considere f(x) = , x = 125 e x = 3. f(128) f(125)+f´(125).3=5+ 5,04

Atenção: Exemplo: Encontre um valor aproximado para ln(1,02) Considere f(x) = lnx , x = 1 e x =0,02 f(1,02) f(1)+f´(1).(0,02)= ln(1,02)0,02

Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por dy= f´(x)x Onde x está no domínio de f´ e x é um incremento arbitrário de x. Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = x, onde x é um incremento arbitrário de x e x é qualquer número no domínio de f’.

Decorre das definições 14 e 15: Definição 16: dy = f´(x)dx Dividindo ambos os membros por dx, temos: Essa relação expressa a derivada como quociente de diferenciais, quando usávamos , dy e dx não tinham significado independentes. A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.

Mais aplicação: Cálculo de erros Seja y=f(x) uma função derivável, temos que: Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou-se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual. f(d)=A(d) função área , d diâmetro  A(d) = (d/2)2 A(d)=d2/4  dA=(d/2)dD dA=.5,2.0,05  0,4084 cm2  máximo erro da área Erro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%