Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

Introdução a Transformada de Fourier

Séries de Fourier Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:

Séries de Fourier As constantes a0, ak e bk (1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)

Séries de Fourier Problema: para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma série trigonométrica convergente para f(x)? f(x)

Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.

Séries de Fourier

Séries de Fourier Agora só falta de determinar ak e bk !!

Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

Séries de Fourier No entanto, sabemos que: Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima No entanto, sabemos que:

Séries de Fourier Lembrando que:

Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a: que se junta a:

Séries de Fourier

Série de Fourier f(t) t T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Coeficientes da Série f(t) t T

Série de Fourier com números complexos

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier (outra notação)

Introdução a Transformada de Fourier

Introdução a Transformada de Fourier

Introdução a Transformada de Fourier

Introdução a Transformada de Fourier

Transformada Discreta de Fourier

Transformada Discreta de Fourier

Resultados da Transformada de Fourier

Exemplo 1: Função caixa (box) f(x) a x b

Transformada da função box f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

Distribuição normal: Gaussiana

Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x)=f(x + dx) f(x) x 0.5 2 f(x0) f(x0 + dx) f(x0 + 2dx) f(x0 +3 dx) x 3 4 0.5 0.75 1.0 1.25 2 3 4 0.5 0.75 1.0 1.25 x

Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Exemplos F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]

Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier! Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!