Estatística Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.

Estatística Situação mais comum: X1, X2, ..., Xn são i.i.d. (formam uma amostra aleatória simples), com distribuição comum Fq, conhecida a menos do parâmetro q (estatística clássica paramétrica). Outras modalidades de inferência: não paramétrica, bayesiana

Estimativa Pontual Estimar q por meio de uma estatística

Exemplo Os táxis em uma cidade são numerados de 1 a N, onde N é desconhecido. Estimar N, por meio de uma amostra dos números dos táxis que passam em um determinado ponto (por exemplo: Mais conveniente considerar a versão contínua: X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q].

Estimadores Razoáveis

Critérios para Avaliar Estimadores Vício (ou viés ou tendência ou bias) O estimador é não-viciado quando a tendência é igual a zero para todo q. Erro médio quadrático O erro médio quadrático de um estimador não-viciado é igual à sua variância

Exemplo Dos estimadores do exemplo anterior, qual é o melhor?

Método da Máxima Verossimilhança O estimador é escolhido de modo a maximimizar a função de verossimilhança onde p(x, q) é a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra x1, x2, …, xn quando o parâmetro é igual a q.

Exemplo X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bernoulli (q)

Exemplo X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2)

Qual é o melhor estimador? Sonho de consumo Um estimador não viciado que possua menor variância que qualquer outro, para todo valor de q (ENVUMV). Há teoremas que permitem obter, em certos casos, estes estimadores.

Alguns ENVUMVs Distribuição ENVUMV Bernoulli (q) Normal (m, s2) Uniforme (q) Poisson (l) Exponencial (m)

Observação Embora existam ENVUMVs para as distribuições clássicas, em geral sequer há estimadores não viciados. Por esta razão, o método geral para obtenção de bons estimadores é o método da máxima verossimilhança. Há teoremas que garantem que tais estimadores são assintoticamente não viciados e de mínima variância.

Estimação Bayesiana Utiliza uma distribuição de probabilidade a priori p(q) para o parâmetro q Modelagem de crenças (beliefs). Subjetividade Distribuição das observações vista como distribuição condicional (p(x, q)  p(x | q) ) Inferências baseadas na distribuição a posteriori de q dados X1, X2, ..., Xn

Critérios de Estimação Máximo a posteriori (MAP):

Critérios de Estimação Estimador de Bayes onde L(q, q’) é uma função de perda. No caso da perda quadrática L(q, q’) = (q ˗ q’)2