Trigonometria Aula 6 Daniel Portinha Alves

Transformações Trigonométricas Nesta aula, trataremos da determinação do seno, cosseno ou tangente de ângulos que podem ser escritos como a soma de dois ângulos notáveis. Por exemplo, sen 750 = sen (300+450), o que facilita o cálculo, pois trabalharemos com ângulos Notáveis.

Sen (a + b) O sen (a+ b) = sen a cosb + sen b cos a Exemplo: calcular sen 750 Sen 750 = sen (300+450) sen (300+450) = sen 300 cos 450 + sen 450 cos 300 sen (300+450) = 1 2 . 2 2 + 2 2 . 3 2 = 2 4 + 6 4 = 2 + 6 4

Sen (a – b) Neste caso, basta mudar o sinal: sen (a - b) = sen a cosb - sen b cos a Exemplo: calcular sen 150 Sen 150 = sen (450-300) sen (450-300) = sen 450 cos 300 - sen 300 cos 450 sen (300+450) = 2 2 . 3 2 − 1 2 . 2 2 = 6 4 - 2 4 = 6 − 2 4

Cos (a+b) Cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b Exemplo: Calcule cos 900 Cos 900 = cos(600+300) cos(600+300) = cos600 cos300 – sen600 sen300 cos(600+300) = 1 2 . 3 2 − 3 2 . 1 2 = 3 4 - 3 4 = 0

Cos (a-b) Cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b Exemplo: Calcule cos 150 Cos 150 = cos(600 - 450) cos(600- 450) = cos600 cos450 + sen600 sen450 cos(600- 450) = 1 2 . 2 2 + 3 2 . 2 2 = 2 4 + 6 4 = 2 + 6 4

tg (a+b) tg (a+b) = 𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑏 1 −𝑡𝑔𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏 , a  𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑏≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 e a+b  𝜋 2 +𝑘𝜋 (kZ)

tg (a + b) Exemplo: Calcular tg 750 Tg 750 = tg(300+450) = 𝑡𝑔 30 0 +𝑡𝑔 45 0 1 −𝑡𝑔 30 0 . 𝑡𝑔 45 0 tg(300+450) = 𝑡𝑔 30 0 +𝑡𝑔 45 0 1 −𝑡𝑔 30 0 . 𝑡𝑔 45 0 = 3 3 +1 1 − 3 3 . 1 = 3 +3 3 3 − 3 3 = 3 +3 3 − 3 , racionalizando teremos 3 +2

Tg (a-b) Para calcular a tangente de a-b, o processo é análogo e utilizaremos a relação: tg (a - b) = 𝑡𝑔 𝑎−𝑡𝑔 𝑏 1+𝑡𝑔𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏 , a  𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑏≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 e a - b  𝜋 2 +𝑘𝜋 (kZ)

Funções circulares de 2a sen 2a = sen(a+a) = sena cosa +sena cos a sen 2a = 2 sena cosa cos 2a = cos(a+a) = cosa cos a – sena sena cos 2a = cos2a - sen2a tg 2a = tg (a+a) = 𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑎 1 −𝑡𝑔 𝑎 . 𝑡𝑔 𝑎 = 2 𝑡𝑔 𝑎 1 − 𝑡𝑔 2 𝑎 a  𝜋 2 +𝑘𝜋 𝑒 2𝑎≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 (kZ)

Aplicação Mostre que (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x. (sen x + cos x)2 = sen2x + 2senxcosx + cos2x Como sen2x + cos2x = 1, teremos: (sen x + cos x)2 = 1 + 2senxcosx (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x

Trigonometria Atividade 6 Daniel Portinha Alves

Atividade 1 Prove que cos (900 – x ) = sen x

Solução cos (900 – x ) = sen x Como cos (a-b) = cos a cos b + sen a sen b, temos cos (900 – x ) = cos 900 . cos x + sen 900 . sen x cos (900 – x ) = 0 . cos x + 1 . Senx cos (900 – x ) = 0 + sen x

Atividade 2 Mostre que tg 2a = 2𝑡𝑔 𝑎 1 − 𝑡𝑔 2 𝑎

Solução tg 2a = tg (a + a) = 𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑎 1 −𝑡𝑔𝑎 . 𝑡𝑔 𝑎 Tg 2a = 2𝑡𝑔 𝑎 1 − 𝑡𝑔 2 𝑎 a  𝜋 2 +𝑘𝜋 𝑒 2𝑎≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 (kZ)