Cálculo 2 3.1. Comprimento de Arco Amintas Paiva Afonso Ensino Superior Cálculo 2 3.1. Comprimento de Arco Amintas Paiva Afonso

Comprimento de arco A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos. Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Comprimento de arco Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Comprimento de arco Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B. y B A x Suponha uma função contínua f(x) = y para a ≤ x ≤ b. Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x0 = a, x1 , x2, ..., xk -1, xk ..., xn = b de acordo com a figura.

Comprimento de arco y Pn = B ............ PK PK-1 ....... P0 = A P1 x0 = xa x1 xk-1 xk xb x Seja Pk ponto (xk , yk) onde yk = f(xk) O comprimento da corda que liga os pontos Pk-1 a Pk será dado por Pitágoras conforme a figura abaixo PK-1 PK ΔYk ΔXk S S =

Comprimento de arco Quando Pk-1 estiver muito próximo de Pk poderemos admitir que o comprimento da corda entre Pk-1 e Pk é o comprimento do arco entre estes dois pontos. Então o comprimento da k-ésima corda é: Colocando Δxk em evidência: (1) Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une os pontos Pk-1 a Pk, pelo valor da derivada e algum ponto x*k entre xk-1 e xk , então

Comprimento de arco Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da curva entre Pk -1 e Pk* Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda = Logo o comprimento total será Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o comprimento do maior subintervalo tende a zero Comprimento do arco AB = lim max Δxk 0 Desde que f ’(x) seja contínua para que a integral exista. (2) (3)

Comprimento de arco Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como mostra a figura abaixo Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em x e y. Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamado triângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras ds2 = dx2 + dy2 y ds d s dy c dx a b x

Comprimento de arco Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do radical, teremos: Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco que é a mesma fórmula (3) Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x. (4)

Comprimento de arco Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x. No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y. Neste caso Para x = a y = c e para x = b y = d, sendo estes valores de y os limites de integração. Assim:

Comprimento de arco Exemplo 1: Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 ) x y Se isolarmos y 42 2 Logo, O comprimento do arco será:

Comprimento de arco

Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva

Comprimento de arco Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.

Comprimento de arco Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.

Comprimento de arco Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 1.

Comprimento de arco Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = /4 a x = /2.