Funções deriváveis

RECORDA!... Infinito 11 / 2Volume Pg. 89

Derivada de uma função num ponto x y O 25 16 1 12 m/s 1,5 2 2,5

Definição: A derivada, ou variação instantânea, de uma função f num ponto , se existir, é o limite da quando . Ou seja, ou Se num ponto não existir derivada finita diz-se que a função não é derivável nesse ponto. Geometricamente, a derivada da função f no ponto , é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto . x y t s y = f(x) f(x0+h) - f(x0) h f(x0) f(x0+h) x0+h x0 M O A

Função derivada y 2 x 16 12 8 4 -16 -4 -8 GSP x O 5 2,5 3 1,5 3,5 y O m=0 5 m=8 m=4 m=-4 m=-8 2,5 2 3 m=12 1,5 3,5 m=-12 x y O m=16 1 4 m=-16 20 16 0,5 12 1 0,5 4,5 8 1,5 m=-20 m=20 4 2 -12 4 -16 4,5 -4 3 -8 3,5 5 -20 2,5 GSP

Derivadas Laterais

Derivadas Laterais I x y O A derivada à esquerda de g no ponto -2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto. -2 2 A derivada à esquerda de g no ponto 2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto. A derivada à direita de g no ponto -2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto. A derivada à direita de g no ponto 2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto. Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto -2. Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto 2.

Derivadas Laterais II x y O Geometricamente, este resultado significa que a tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 0 é uma recta vertical que, neste caso, é o eixo das ordenadas. Podemos constatar que a função, embora seja contínua no ponto 0, tem derivada infinita. Não é derivável no ponto.

Derivadas Laterais III x y O -1 1 -2 Não existe derivada de f no ponto –1. Graficamente pode ver-se que a semitangente esquerda é vertical e que a semitangente direita tem declive negativo. Neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.

Derivadas Laterais IV  x y O 2 4 Graficamente vê-se que a semitangente esquerda é uma recta vertical. Também a semitangente direita é uma recta vertical. Podemos ainda constatar que também neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.  Maria José Vaz da Costa