1 Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Caixa Postal 4386 CEP , Brasília - DF Homepage: Processamento de Sinais Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (52) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Objetivo: Encontrar um modelo que se adeque melhor aos dados – Família de modelos: família parametrizada de funções densidade de probabilidade Parâmetros do modelo Matriz de dados – A fim de se encontrar o melhor modelo, a seguinte expressão deve ser minimizada variando-se a ordem do modelo: Graus de liberdade ou número de parâmetros livres Logarítmo da função verossimilhança

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (53) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Matriz de covariância para ordem do modelo k onde – Aplicando a EVD na matriz de covariância onde Note que: –. Além disso, devido a matriz de mistura, para Posto k

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (54) Critério de Informação de Akaike (AIC)

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (55) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Assumindo N amostras temporais gaussianas i.i.d. ordem do modelo igual a k

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (56) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Aplicando o logarítmo na função verossimilhança: – Removendo o termo constante: – O traço tr{ } de um escalar é o próprio escalar.

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (57) Critério de Informação de Akaike (AIC) – O operador traço permite a comutação dos elementos no argumento. – A soma dos traços é a traço da soma. – Definição da matriz de covariância das amostras:

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (58) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Os autovalores da matriz são dados por. – Como, o segundo termo da expressão é aproximadamente constante.

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (59) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Após remover o segundo termo constante, tem-se que: – Substituindo pelos autovalores: – Adicionando constante na expressão:

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (60) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Autovalores de ruído: – Expressão final do logarítmo da máxima verossimilhança:

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (61) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Cálculo dos graus de liberdade: k autovetores de tamanho M com elementos complexos: k autovalores reais : Autovetores são unitários: Autovetores são ortogonais:

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (62) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Expressão AIC usando autovalores apenas: Premissa não realística: Apesar do AIC ser simples e funcionar em várias aplicações, ele assume o comportamento assintótico dos autovalores de ruído.

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (63) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Expressão AIC usando autovalores apenas:

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (64) Exponential Fitting Test (EFT)

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (65) Exponential Fitting Test (EFT)  Os autovalores de ruído branco exibem um perfil exponencial.  Por meio da previsão do perfil dos autovalores encontra-se “o ponto de quebra”  Seja P a quantidade de autovalores de ruído. Escolha o maior P tal que os autovalores de ruído se ajustem no decaimento exponencial. d = 3, M = 8, SNR = 20 dB, N = 10

 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (66) TécnicaClassificaçãoCenário Ruído Gaussiano Superou a(s) técnica(s) EDC 1986Autovalores - BrancoAIC, MDL ESTER 2004Subespaço M = 128; N = 128 Branco/ Colorido EDC, AIC, MDL RADOI 2004Autovalores M = 4; N = 16 Branco/ Colorido Greschgörin Disk Estimator (GDE), AIC, MDL EFT 2007Autovalores M = 5; N = 6 BrancoAIC, MDL, MDLB, PDL SAMOS 2007Subespaço M = 65; N = 65 Branco/ Colorido ESTER NEMO 2008Autovalores N = 8*M (vários) ColoridoAIC, MDL

17  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (67)

18  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (68)

19  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (69)

20  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (70)

21  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (71)

22  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (72)

23  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (73)

24  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (74)

25  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (75)

26  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (76)

27  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (77)

28  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (78)

29  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (79)

30  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (80)

31  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (81)

32  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (82)

33  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (83)

34  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (84)

35  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (85)

36  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (86)

37  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (87)

38  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (88)

39  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (89)

40  Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (90)

Processamento de Sinais em Alta Resolução (91)  Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Duas matrizes de covariância não normalizadas: linhas e colunas

Processamento de Sinais em Alta Resolução (92)  Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – EVD das duas matrizes de covariância não normalizadas – Assumindo M < N, então é posto deficiente. Além disso:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (93)  Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Usando os subespaço das linhas e das colunas calcula-se a SVD: onde – Substituindo a matriz de dados da SVD na definição da matriz de covariância tem-se:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (94)  Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Como: – Então:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (95)  Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Subespaço das colunas: Composto de subespaço dos sinais e do ruído: – Subespaço das linhas: Composto de subespaço dos sinais e do ruído:

46 Processamento de Sinais em Alta Resolução (96) “SVD completa” “SVD econômica” Aproximação de posto inferior  Decomposição em Valores Singulares Aproximação de posto inferior

Processamento de Sinais em Alta Resolução (97)  Decomposição em Valores Singulares Aproximação de posto inferior – Antes de fazer a aproximação a ordem do modelo precisa ser conhecida. Exemplo: AIC, EFT e outras técnicas – Após a aproximação de posto inferior, o ruído é removido. Este processo é conhecido como “denoising”. Filtragem baseada na ortogonalidade entre o subespaço de sinal e o subespaço de ruído.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (99)  Filtro de autovetor Não necessita informação sobre a aplicação para encontrar o vetor. Assume-se que o sinal e o ruído são descorrelacionados. A potência de saída do arranjo de antenas é dada por: A potência no caso de haver apenas ruído é dada por: Logo, o SNR é dado por:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (100)  Filtro de autovetor O filtro desejado deve satisfazer: Logo, o SNR é dado por: A SNR é maximizada quando o filtro for igual ao autovetor correspondente ao maior autovalor.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (101)  Multiple Signal Classification (MUSIC) Com a ordem do modelo conhecida e aplicando a EVD, é possível se obter o subespaço de ruído. onde A densidade espacial de potência do MUSIC é dada por:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (102)  Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT) DS, CAPON e MUSIC pode ser também estimada por meio da densidade espacial de potência (SPD). -Em geral, a estimação de DOA pela SPD requer uma grande complexidade através de buscas por máximos da SPD. Logo, pode-se encontrar a DOA através do ESPRIT. ESPRIT: é uma técnica fechada que não depende de buscas.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (103)  Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT) Equação de invariância ao deslocamento  d onde J 1 e J 2 são as matrizes de seleção.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (104)  Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT)  A matriz diretora A e os d autovetores de E correspondentes aos d maiores autovalores da matriz de covariância geram o mesmo subespaço.  Note que E s é obtida com a aproximação de posto inferior.  Aplica-se novamente a decomposição em autovalores:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (105)  Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS)  Exemplo para o caso de uma fonte - Resposta do arranjo completo

Processamento de Sinais em Alta Resolução (106)  Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS)  Exemplo para o caso de uma fonte - Selecionando os (M – 1) primeiros sensores e os (M – 1) úiltimos sensores:

Processamento de Sinais em Alta Resolução (107)  Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS)  Exemplo para o caso de uma fonte - Concatenando as matrizes X 1 e X 2, tem-se: - O SS pode ser aplicado em mais sensores aumentando o número de colunas da matriz. - O SS é recomendável em casos em que a matriz A varia rapidamente com o tempo implicando que a matriz A é apenas constante para poucos snapshots.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (108)  Forward Backward Averaging  Após o FBA, o número de amostras é virtualmente duplicado:  O FBA só pode ser aplicado para arranjos centro-simétricos e é dado pela seguinte expressão: onde.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (109)  Forward Backward Averaging  Exemplo para o caso de duas fontes e sem ruído:  Aplicando as matrizes e :

Processamento de Sinais em Alta Resolução (110)  Forward Backward Averaging  Colocando escalares em evidência obtém-se:  Colocando a matriz diretora em evidência:  Verifica-se que após o FBA, a matriz diretora permanece a mesma.

Processamento de Sinais em Alta Resolução (111)  Estimação dos sinais recebidos através da pseudo- inversa  Sendo estimadas a ordem do modelo e as frequências espaciais, pode-se reconstruir a matriz diretora estimada:  Dada a matriz e dada a matriz, deseja-se

Processamento de Sinais em Alta Resolução (112)  Estimação dos sinais recebidos através da pseudo- inversa  A matriz pseudo-inversa é definida como:  Note que o cálculo da pseudo-inversa é apenas possível se d < M.