2.1. Curvas e Superfície de Nível Ensino Superior Cálculo 3 2.1. Curvas e Superfície de Nível Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Programa 1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV). 1.1 Curvas e Superfície de Nível 2. Limites e derivadas de FVV. 3. Regra da cadeia e derivada direcional. 4. Integração dupla. 5. Aplicações de integração dupla. 6. Integração tripla. 7. Aplicações de integração tripla. 8. Mudança de variáveis. 9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.

Curvas de Superfície de Nível Existe uma outra técnica gráfica, útil, para descrever o comportamento de uma função de duas variáveis. O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das equações f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de nível da função f.                                   

Curvas de Superfície de Nível Curva de nível                    tal que              .

Exemplo 1. z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção aproximadamente plana). Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico.

Exemplo As curvas de nível são os gráficos das equações           . 2.

Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível 68

Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível z = 9 z = 4 z = 2 z = 0 66

Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível 69

Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível 70 70

Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível 71

Exemplo Curvas de nível:          . 3.

Exemplo Curvas de nível: - hipérboles                                                           4.

Curvas de Superfície de Nível Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k.                                    Superfícies de nível                   tal que                 . Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas são chamadas superfícies equipotenciais.

Curvas de Superfície de Nível

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Curvas de Superfície de Nível A superfície É o gráfico de f. Uma curva de nível típica no domínio da função Parabolóide

Curvas de Nível X Curvas de Contorno A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75. A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy. Plano z = 75 Traço: é a curva definida pelo encontro da superfície f(x,y) com os planos xy, xz e yz.

Curvas de Nível

Curvas de Nível Decréscimo mais rápido de f A curva

Exercícios Seja f(x, y) uma função com domínio dado por f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2  9}. Esboçar o gráfico da função. Determine s curvas de nível par z = 4, z = 6 e z = 8. 2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as curvas de nível da função z = xy.