CORPOS REDONDOS CILINDROS
Cilindro Considere dois planos paralelos, e σ, um círculo C de raio r contido em , e uma reta s que intercepta planos e σ. Chama-se cilindro circular, ou apenas cilindro, a figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta s, com uma extremidade em um ponto de C e a outra em um ponto do plano σ.
Elementos do cilindro
Classificação dos cilindros Podemos classificar os cilindros de acordo com a inclinação da reta s em relação aos planos e σ que contêm as bases: se a reta s é perpendicular aos planos e σ, o cilindro é reto (g = h). se a reta s não é perpendicular aos planos e σ, o cilindro é oblíquo (g ≠ h).
Observações Um cilindro circular reto também é denominado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície retangular em torno da reta que contém um dos lados dessa superfície. A medida desse lado é igual à altura h do cilindro, e a medida do lado perpendicular a esse é igual à medida do raio r da base do cilindro.
Observações Se um cilindro reto tem altura igual ao dobro da medida do raio da base (h = 2r), ele é chamado cilindro equilátero.
Secção meridiana de um cilindro Uma secção meridiana de um cilindro é determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contenha seu eixo.
Secção transversal de um cilindro Uma secção transversal de um cilindro é a intersecção do cilindro com um plano paralelo ao plano da base.
Planificação da superfície de um cilindro reto
Área da superfície e volume de um cilindro reto Abase = r2 Alateral = 2rh Atotal = 2r(r + h) Vcilindro = r2h
Exercícios 1. Dado um retângulo de dimensões 3 cm e 5 cm, comparar a área lateral e a área total da superfície dos cilindros de revolução dele obtidos. Resolução Fazendo a rotação do retângulo em torno do lado que mede 3 cm, obtemos um cilindro reto de raio 5 cm e altura 3 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 5 ∙ ∙ (5 + 3) = 80 Logo, esse cilindro tem área lateral de 30 cm2 e área total de 80 cm2.
Resolução O outro cilindro de revolução tem raio 3 cm e altura 5 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 3 ∙ ∙ (3 + 5) = 48 Logo, esse cilindro tem 30 cm2 de área lateral e área total de 48 cm2. Portanto, as áreas laterais dos cilindros obtidos são iguais. No entanto, quando fazemos a rotação do retângulo em torno do lado menor, a área total da superfície do cilindro é maior.
2. Calcular a razão entre a área da base e a área da secção meridiana de um cilindro equilátero. Resolução Vamos considerar um cilindro equilátero de altura h e cuja base é um círculo de raio r. A área da base é: Abase = ∙ r2 Como um cilindro equilátero tem a altura igual ao dobro do raio (h = 2r), a secção meridiana é um quadrado de lado 2r. A área da secção meridiana é: Asecção meridiana = 2r ∙ 2r = 4r2 Assim, temos: ____ ∙ r2 4 ∙ r2 4 _ =
3. Considerar três cilindros circulares retos: C, de altura h e base de raio r; cilindro C’, de altura h e base de raio 2r; e cilindro C’’, de altura 2h e base de raio r. a) Comparar o volume de C’ com o de C. b) Comparar o volume de C’’ com o de C. c) Comparar o volume de C’ com o de C’’.
Resolução Primeiro calculamos o volume de C: V = r2h a) C’ tem volume V’ = ∙ (2r)2 ∙ h = 4(r2h), ou seja: V’ = 4V Portanto, o volume de C’ é o quádruplo do volume de C. b) C’’ tem volume V’’ = ∙ r2 ∙ (2h) = 2(r2h), ou seja: V’’ = 2V Portanto, o volume de C’’ é o dobro do volume de C. c) Dos itens anteriores, temos: V’ = 4r2h = 2(2r2h), ou seja: V’ = 2V’’ Portanto, o volume de C’ é o dobro do volume de C’’.
4. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar a lata de óleo indicada ao lado e o seu volume? 19 cm 8 cm Óleo Solução 3 2 56 , 954 24.19 50 . 76 577 48 100 28 477 24 4 14 19 cm V h A r rh b T l = Û + p
De acordo com o problema, o volume desse cilindro deverá ser de 1 litro ou 1 dm3. Sabemos que o raio da base será de 5 cm, que equivale a 0,5 dm. Utilizando a fórmula do volume, teremos: Portanto, a lata deverá ter uma altura de, aproximadamente, 13 cm.