Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 6.a Aula: Relação entre a Equação de Estado e a Transformada de Laplace

Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais (Resposta Temporal) Se A é uma matriz n x n , onde e b é um vetor coluna com n elementos, a solução da equação (1): (1) Com as condições iniciais (2): (2) Será dada por (3): (3)

Aplicação em Análise de Circuito 1) Dado o circuito RLC série. Determine a corrente iL(t) no indutor e a tensão vC(t) no capacitor. Condições iniciais são dadas: Dados:

1. Equação de estado, calculada anteriormente: 2. Matriz de Transição, também calculada anteriormente:

3. Solução da equação com as condições iniciais dada: (3) 4. Tem-se: 5. Calculando-se o primeiro termo da equação (3):

6. Primeiro termo da equação (3): 6. Caculando-se a Integral (Int) do segundo termo da equação (5):

7. Integral em relação a :

Substituindo-se os valores encontrados na equação (3) Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais: (3)

Assim sendo: a) Corrente no indutor iL(t): b) Tensão no capacitor vC(t):

Outros valores podem ser computados, como por exemplo : c) Tensão no indutor vL(t): d) Use um script no MATLAB para determinar a curva da tensão no capacitor vC(t):

Solução:

e) Obter a curva de tensão anterior, no SIMULINK, utilizando o bloco “State-Space”, o bloco de função “unit step” como entrada e o bloco “Scope” para visualizar a forma de onda. Parametrizar o bloco “State-Space” com:

Solucao:

2) Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema 2) Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema. Onde u(t) é a funcao degrau unitário ocorrendo t=0, ou u(t) = 1t. Solucao:

Calculando a matriz de transicao de estado: A resposta á entrada degrau unitário é entao obtida como:

Se o estado inicial é zero, ou x(t) = 0 Se o estado inicial é zero, ou x(t) = 0. Entao, x(t) pode ser simplificado:

2.o Método da Computação da Matriz de Transição de Estado A matriz de estado pode ser computada a partir da Transformada Inversa de Laplace. Considere a equação de estado (1): (1) Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado dada: (5) (6)

Multiplicando-se ambos os lados da equação por : (7) Comparando-se (7) com a Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais (3): : (3)

Por similaridade observa-se que o lado direito da equação (7) é a Transformada de Laplace da Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais (3). : Assim pode-se computar a matriz de transição de estado diretamente da Transformada Inversa de : (8)

Exercício: 1) Obtenha a matriz de transição de estado do sistema abaixo. Obtenha também a inversa da matriz de transição de estado: Solucao:

Como: A inversa será dada por:

A matriz de transicao será dada por: A inversa da matriz de transicao será :