Sistemas de Numeração Faculdade de Ciências Aplicadas e Sociais de Petrolina - FACAPE Ciência da Computação Professora: Cynara Carvalho E-mail: cynaracarvalho@yahoo.com.br

O que é o Sistema de Numeração? Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação. Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades. As quantidades em si não mudam; mudam apenas os símbolos usados para representá-las.

Base e Notação posicional A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. Na Notação posicional o que indica o valor de cada numeral é a posição na qual ele é escrito. Exemplo: 1951 é um número decimal e é interpretado da seguinte maneira...

Base e Notação posicional Exemplo: 1951 é interpretado da seguinte maneira... 1951 – uma milhar + nove centenas + cinco dezenas + uma unidade 1 9 5 1 1 1 x 1 1 x 10° 50 5 x 10 5 x 10¹ 900 9 x 100 9 x 10² 1000 1 x 1000 1 x 10³ 1951 1951 = 1 x 10³ + 9 x 10² + 5 x 10¹ + 1 x 10°

Base e Notação posicional Sistemas de numeração básicos: Binário Octal Decimal Hexadecimal

Representação na base “n” Como devemos representar um número? Letra após o número para indicar a base; Número entre parênteses e a base como um índice do número. Exemplo: Sistema Decimal 1234D ou (1234)10 ou 123410 ou 1234 (Sistema de Numeração Padrão)

Sistema Binário O Sistema Binário utiliza dois símbolos para representar quantidades (Base 2). Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: (101)2 1

Sistema Octal O Sistema Octal utiliza oito símbolos para representar quantidades (Base 8) Exemplo: (234)8 1 2 3 4 5 6 7

Sistema Decimal O Sistema Decimal utiliza dez símbolos para representar quantidades (Base 10). Sistema mais utilizado Exemplo: (789)10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sistema Hexadecimal O Sistema Hexadecimal utiliza dezesseis símbolos para representar quantidades (Base 16). Exemplo: (10A)16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A(10) B(11) C(12) D(13) E(14) F(15)

Observações Devemos sempre observar o seguinte: O número de dígitos usados no sistema é sempre igual a base. O maior número é sempre o que antecede a base. O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos significativo à direita. Em geral se toma a base decimal como referência.

Conversões de Bases Base 2 Base 8 Base 10 Base 16 1 10 2 11 3 100 4 1 10 2 11 3 100 4 101 5 110 6 111 7 1000 8 1001 11 9 1010 12 10 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F

Conversão entre Bases 2 e 8 Conversão de bases: Entre as Bases 2 e 8 8 = 23 Basta dividir o número binário da direita para a esquerda, em grupos de 3 bits Se o último grupo, à esquerda, não for múltiplo de 3, preenche-se com zeros à esquerda. Para cada grupo, acha-se o algarismo octal equivalente. Ex: (111010111)2 = ( )8 (111) (010) (111)2 = (727)8 7 2 7 (1010011111)2 = ( )8 (001) (010) (011) (111)2 = (1237)8 1 2 3 7

Conversão entre Bases 8 e 2 Conversão de bases: Entre as Bases 8 e 2 A conversão de números da base 8 para a 2 é realizada de forma semelhante, no sentido inverso, substitui-se cada algarismo octal pelos seus 3 bits correspondentes. Ex: (327)8 = ( )2 (011) (010) (111)2 = (011010111)2 ou (11010111)2 3 2 7

Conversão entre Bases 2 e 16 Conversão de bases: Entre as Bases 2 e 16 16 = 24 Basta dividir o número binário da direita para a esquerda, em grupos de 4 bits Se o último grupo, à esquerda, não for múltiplo de 4, preenche-se com zeros à esquerda. Para cada grupo, acha-se o algarismo hexadecimal equivalente. Ex: (1011011011)2 = ( )16 (0010) (1101) (1011)2 = (2DB)16 2 D B

Conversão entre Bases 8 e16 Conversão de bases: Entre as Bases 8 e 16 Como a base de referência para as substituições de valores é a base 2, esta deve ser empregada como intermediária no processo. Ou seja, convertendo da base 8 para a 16, deve-se primeiro efetuar a conversão para a base 2 e depois para a base 16. O mesmo ocorre se a conversão for da base 16 para a base 8. Ex: (3174)8 = ( )16 Primeiro converte-se o nº da base 8 para a base 2: (011) (001) (111) (100)2 = (011001111100)2 Em seguida, converte-se da base 2 para a 16, separando-se os algarismos de 4 em 4, da direita para a esquerda: (0110) (0111) (1100) = (67C)16 6 7 C

Exercícios a) 53318 = ( )2 b) 1000110112 = ( )8 c) 4138 = ( )2 d) 110010110110112 = ( )8 e) 110111000112 = ( )16 f) 365116 = ( )2 g) 374218 = ( )16 h) 2BEF516 = ( )8 i) 1A45B16 = ( )8 j) 100111001011012 = ( )16 k) F5016 = ( )2 l) 2548 = ( )16 m) 2E7A16 = ( )8 n) 3C716 = ( )8

CONVERSÃO ENTRE BASES Conversão de uma base qualquer para decimal: seja um número em uma base b não-decimal obteremos seu equivalente decimal conforme o exemplo a seguir: Exemplos: 5F316 = 5 x 162 + 15 x 161 + 3 x 160 = 1280 + 240 + 3 = 152310 64378 = 6 x 83 + 4 x 82 + 3 x 81 + 7 x 80 = 3072 + 256 + 24 + 7 = 335910 101012 = 1x24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1x20 = 21

CONVERSÃO ENTRE BASES Conversão da base decimal para uma base qualquer: o número decimal é dividido sucessivas vezes pela base que se deseja a conversão, até que não possa mais ser dividido. O resto de cada divisão será o número na base desejada, indo do último para o primeiro resto obtido.

Exercícios Efetue as seguintes conversões de base: 1D516 = ( )10 1001011012 = ( )10 53418 = ( )10 15510 = ( )2 6310 = ( )8 11910 = ( )16