TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos Função resposta em frequência e resposta impulsional Funçao resposta em frequência e equação diferencial
Motivação SLIT Particularização da transformada de Laplace ao eixo imaginário do plano Espectro de frequência
Definição Exponencial direita para Alternativa
Espectro de frequência da exponencial real
Definição
Condições de Dirichlet Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier: 1. é absolutamente integrável, i.e., possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito. Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que
Exemplos 1. sinal de energia finita 2. sinal de energia infinita sinal de potência média finita 3. sinal de potência média finita
Sinais periódicos Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ? Ex. 1 Ex. 2
Sinais periódicos Série de Fourier do sinal periódico TF Combinação linear de exponenciais complexas de período TF é periódico com período e, portanto, com frequência fundamental Coeficientes da série de Fourier:
Série de Fourier Ex. 1
Série de Fourier vs.Transformada de Fourier Ex. 1 (cont.)
Série de Fourier Ex. 2 Onda quadrada
Série de Fourier vs.Transformada de Fourier Ex. 2 Onda quadrada (cont.)
Série de Fourier Ex. 3
Série de Fourier Ex. 4 série geométrica
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P1. Linearidade Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P2. Translação no Tempo Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P3. Translação na Frequência Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P4. Mudança de Escala Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P5. Convolução Convolução circular: Ex. periódico com período Propriedade da convolução Propriedades da linearidade e da translação no tempo
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P6. Diferenciação no Tempo Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P7. Diferenciação na Frequência P8. Integração no Tempo Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P9. Simetria Se é uma função real, então TF: SF: Espectro de frequência de
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P9. Modulação Ex.
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P10. Dualidade Se então Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência Pares sinal no tempo/transformada:
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier P10. Dualidade
Exemplos Ex. 1: Transformada de Fourier Tabela: Ex. 1: Transformada de Fourier Linearidade + Translação no Tempo
Exemplos Ex. 2: Transformada de Fourier Tabela: Ex. 2: Transformada de Fourier Linearidade + Translação na Frequência
Translação na Frequência Exemplos periódico: Ex. 3: Série de Fourier sin(p t) f(t) Linearidade + Translação na Frequência Translação no Tempo
Exemplos periódico: Ex. 3: Série de Fourier (cont.) sin(p t) f(t)
Resposta Impulsional Resposta em Frequência A resposta em frequência de um SLIT estável corresponde à particularização da função de transferência sobre o eixo imaginário do plano complexo. Ex 1. Filtro passa-baixo ideal Espectro do sinal de entrada Espectro do sinal de saída
Resposta no Tempo Exemplo Tabela
Resposta Impulsional Resposta em Frequência SLITs em série – propriedade da convolução
Resposta Impulsional Resposta em Frequência SLITs em paralelo– propriedade da linearidade
Resposta em Frequência Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato.
Resposta em Frequência Exemplo
Equação Diferencial Resposta em Frequência SLIT Linearidade Diferenciação no tempo
Equação Diferencial Exemplo
Modulação de Amplitude Sistema linear mas variante no tempo
Multiplexagem na Frequência
Multiplexagem na Frequência